2012-江西卷理-07 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量数量积与模长平方的关系。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 在直角三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 是斜边 $AB$ 的中点，点 $P$ 为线段 $CD$ 的中点，则 $\frac{|PA{|}^2+|PB{|}^2}{|PC{|}^2}=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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1. 方法一：特殊化方法（快捷法）

• 题目中未具体指定直角三角形的边长与具体夹角，说明该比值为一个与三角形形状无关的几何定值。
• 可直接构建一个特殊的直角三角形来简化计算。例如设 $\angle C=90^{\circ }$ 的等腰直角三角形，令直角边 $AC=BC=2$，通过解析几何坐标系或勾股定理直接算出各线段长度。

2. 方法二：向量基底法（严密推导法）

• 设 $\overrightarrow{DA}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 为基底（或以 $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ 为基底）。利用向量的加减法将 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ 全部用基底向量表示。
• 利用点 $D$ 是 $AB$ 中点可得 $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=0⟹\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DA}$。
• 结合直角三角形斜边中线性质恒满足 $|DA|=|DB|=|DC|$。
• 将模长平方写成向量自身数量积的形式： $|\overrightarrow{V}{|}^2={\overrightarrow{V}}^2$，代入展开并化简组合式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特例法（快速求解）

设 $△ABC$ 为等腰直角三角形，其中直角顶点为 $C$。 以 $C$ 为原点， $CA,CB$ 所在直线分别为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立直角坐标系。 令直角边长 $AC=BC=2$，则各顶点坐标为： $C(0,0),A(2,0),B(0,2)$

因为 点 $D$ 是斜边 $AB$ 的中点，根据中点坐标公式： $D\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)⟹D(1,1)$

因为 点 $P$ 是线段 $CD$ 的中点，且 $C(0,0)$，根据中点坐标公式： $P\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+1}{2}\right)⟹P\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

利用平面两点间距离公式，分别计算各项强度的平方值：

• $|PA{|}^2={\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=\frac{10}{4}$
• $|PB{|}^2={\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{10}{4}$
• $|PC{|}^2={\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}$

代入目标比值分式中： $\frac{|PA{|}^2+|PB{|}^2}{|PC{|}^2}=\frac{\frac{10}{4}+\frac{10}{4}}{\frac{2}{4}}=\frac{\frac{20}{4}}{\frac{2}{4}}=\frac{20}{2}=10$

方法二：向量法（通用证明）

因为 点 $D$ 是斜边 $AB$ 的中点， 所以 根据直角三角形斜边中线性质，斜边中线长等于斜边的一半，即： $|DA|=|DB|=|DC|=R$ 同时满足： $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=0⟹\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DA}$。

因为 点 $P$ 是线段 $CD$ 的中点，所以 $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{DP}$，且 $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$。 将各矢量向点 $D$ 进行拆分对齐：

• $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}$
• $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DP}=-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}$

利用模长平方等于向量自乘数量积的性质，展开分子： $|PA{|}^2={\overrightarrow{PA}}^2=(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}{)}^2={\overrightarrow{DA}}^2-2\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DP}+{\overrightarrow{DP}}^2$ $|PB{|}^2={\overrightarrow{PB}}^2=(-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}{)}^2={\overrightarrow{DA}}^2+2\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DP}+{\overrightarrow{DP}}^2$

将两式相加，由于中间的交叉项 $2\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DP}$ 互为相反数，直接抵消： $|PA{|}^2+|PB{|}^2=2{\overrightarrow{DA}}^2+2{\overrightarrow{DP}}^2=2|DA{|}^2+2|DP{|}^2$

因为 点 $P$ 是 $CD$ 的中点，且 $|DC|=R$， 所以 $|DP|=\frac{1}{2}|DC|=\frac{1}{2}R$。同时已知 $|DA|=R$。 代入分子和式中： $|PA{|}^2+|PB{|}^2=2R^2+2\times {\left(\frac{1}{2}R\right)}^2=2R^2+2\times \frac{1}{4}{R}^2=2R^2+\frac{1}{2}{R}^2=\frac{5}{2}{R}^2$

又因为 分母线段满足 $|PC|=|DP|=\frac{1}{2}R$，其平方值为： $|PC{|}^2={\left(\frac{1}{2}R\right)}^2=\frac{1}{4}{R}^2$

计算最终的比值： $\frac{|PA{|}^2+|PB{|}^2}{|PC{|}^2}=\frac{\frac{5}{2}{R}^2}{\frac{1}{4}{R}^2}=\frac{5}{2}\times 4=10$

故选 D#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：直角三角形斜边中线的数量特征、向量的平行四边形加减法则、数量积的因式展开。
2. 核心方法：

• 特殊三角形代入法：选择题中处理无特定边长的定值比值问题，首选等腰直角三角形代入。
• 中点向量消元法：利用 $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=0$，在两因式相加时能够极其高效地成对消去互为相反数的数量积项。

3. 避坑指南：

• 使用向量法时，注意方向基准。例如 $\overrightarrow{PB}$ 分解为 $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DP}$ 时变号要准确，避免把 $(-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}{)}^2$ 的交叉项错算为负号，从而导致无法与前项抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于向量数量积在几何图形中求值应用的经典中档选择题。
2. 结论推广：本题几何模型本质上属于欧几里得几何中的**中线定理（斯特瓦尔特定理的特例）**的一种变式应用。在任意三角形 $MAB$ 中，若 $D$ 为 $AB$ 中点，则恒满足通用长度恒等式： $|MA{|}^2+|MB{|}^2=2|MD{|}^2+2|DA{|}^2$。本题中令动点 $M$ 为 $P$，则直接满足 $|PA{|}^2+|PB{|}^2=2|PD{|}^2+2|DA{|}^2$。由于直角三角形蕴含 $|DA|=|DC|=2|PD|$，直接代入长度即可实现免建系免向量的秒级化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 09.02 平面向量的线性运算 类题演练 (Links)

• 2008-广东卷理-08

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算