本题导读
本题考查等差数列的定义与通项公式，以及等差数列的性质。
📌【题干】
Question
（2012年江西卷(理)） 设数列 , 都是等差数列，若 , , 则 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 方法一：构造新数列法（整体思维）
- 令新数列 。
- 依据基本定义，两等差数列对应项相加组合成的新数列 必然也是一个等差数列。
- 已知条件转化为： , 。目标求解项为 。
- 在等差数列 中， 的项数成等差数列（公差为 2），根据等差数列的通项性质， 恰好为 与 的等差中项，由此可建立方程直接求解。
- 方法二：通项基本元展开法（常规思维）
- 设数列 的公差为 ，数列 的公差为 。
- 将已知的 和目标的 用首项与公差展开：
- 整体代入消元即可。
✅【答案】
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3
✍【详细解析】
Abstract
方法一：整体性质法
令 。 因为 数列 和 均为等差数列， 所以 根据等差数列的线性组合性质，新构造的数列 亦为等差数列。
由题意可知：
因为 在等差数列 中，项数 成等差， 所以 是 与 的等差中项，即满足恒等式：
将已知数据 代入等差中项公式中：
由于 ，故 。
方法二：基本元法
设等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 。 由通项公式 展开：
代入已知数据 及 ：
同理，展开目标求解项 ：
将已求得的整体特征元 和 代入上式中：
故答案为：35
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：两等差数列相加的新等差特征、等差中项性质的多步延展。
- 核心方法：
- 整体构造换元法：将 视为一个不可分割的整体数列 ，能有效避免引入过多公差未知数，大幅提升破题速度。
- 避坑指南：
- 避免尝试去分别单独求解 以及 的具体数值。本题给出的条件只够锁定整体和的值，属于典型的“缺条件”结构，无法拆分单项元，盲目拆分会导致计算陷入卡死状态。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于等差数列性质应用的常规基础填空题。
- 结论推广：本题可推广至更一般的线性组合模型：若 为等差数列，则新数列 （ 为常数）恒为等差数列。且对于任意成等差间隔的项，均满足通项性质： 。本题中由于项数 跨度对称，直接满足 。
🔗【关联脉络】
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