2012-江西卷理-13 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的几何性质，以及等比数列的定义与等比中项。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别是 $A,B$，左、右焦点分别是 $F_1,F_2$. 若 $|A{F}_1|,|F_1{F}_2|,|F_{1}B|$ 成等比数列，则此椭圆的离心率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何量转化：由标准椭圆的几何性质可知，各特殊点在 $x$ 轴上的坐标分别为 $A(-a,0),B(a,0),F_1(-c,0),F_2(c,0)$。
2. 写出线段长表达式：

• $|A{F}_1|=a-c$
• $|F_1{F}_2|=2c$
• $|F_{1}B|=a+c$

3. 利用等比数列性质列方程：由于三者成等比数列，则中间项 $|F_1{F}_2|$ 为前后两项的等比中项，满足恒等式 $|F_1{F}_2{|}^2=|A{F}_1|\cdot |F_{1}B|$。
4. 求解齐次方程得出离心率：代入基本量代数式展开，由于各项均为关于 $a,c$ 的二次齐次式，两边同除以 $a^2$ 转化为关于离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的一元二次方程，求解即可。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

根据标准椭圆的几何结构特征，各点坐标满足 $A(-a,0),B(a,0),F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 各线段的几何长度可分别表示为： $|A{F}_1|=c-(-a)=a-c$ $|F_1{F}_2|=c-(-c)=2c$ $|F_{1}B|=a-(-c)=a+c$

因为 线段长 $|A{F}_1|,|F_1{F}_2|,|F_{1}B|$ 依序成等比数列， 所以 根据等比中项的性质满足： $|F_1{F}_2{|}^2=|A{F}_1|\cdot |F_{1}B|$

将各线段的代数表达式代入上式中： $(2c{)}^2=(a-c)(a+c)$ 展开多项式进行化简： $4c^2=a^2-c^2⟹5c^2=a^2$

因为 椭圆的离心率定义公式为 $e=\frac{c}{a}$，且 $a>0,c>0$， 所以 将上式两边同时除以 $a^2$： $5\cdot {\left(\frac{c}{a}\right)}^2=1⟹5e^2=1$ 解得： $e^2=\frac{1}{5}⟹e=\frac{\sqrt{5}}{5}$

故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：标准椭圆焦点与顶点间距离长表达式、等比中项恒等式的建立。
2. 核心方法：齐次方程离心率转化法。在圆锥曲线中，求离心率的基本策略是构建关于 $a,c$ 的齐次方程，无需单独求出 $a$ 和 $c$ 的值，两边同除以 $a$ 的最高次幂即可直接一步塌缩出含有 $e$ 的方程。
3. 避坑指南：

• 线段长 $|F_{1}B|$ 是左焦点到右顶点的距离，应当为 $a+c$，切勿由于粗心大意将其与焦半径公式混淆或误写作 $a-c$。
• 离心率满足 $0<e<1$，开平方时直接保留正值即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于椭圆几何性质应用的典型填空题。
2. 结论推广：若将本题推广到双曲线模型：在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，若左、右顶点 $A,B$ 与左、右焦点 $F_1,F_2$ 同样满足 $|A{F}_1|,|F_1{F}_2|,|F_{1}B|$ 成等比数列。此时线段长变为 $|A{F}_1|=c-a,|F_1{F}_2|=2c,|F_{1}B|=c+a$。代入等比中项公式： $(2c{)}^2=(c-a)(c+a)⟹4c^2=c^2-a^2⟹3c^2=-a^2$，此时方程在实数域无解。这说明该等比几何模型属于椭圆所独有的特征性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结 类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率

• 2009-江西卷理-06 单-椭圆

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率