2009-江西卷理-06 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的几何性质及离心率的求解。通过焦点弦构造直角三角形，结合通径公式建立关于 $a,c$ 的等式是解题关键。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 过椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $P$, $F_2$ 为右焦点, 若 $\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$, 则椭圆的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确垂线段 $|P{F}_1|$ 为半通径长，即 $\frac{b^2}{a}$。焦点间距 $|F_1{F}_2|=2c$。
2. 在直角三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中，利用 $\tan \angle F_{1}P{F}_2$ 建立 $b^2/a$ 与 $2c$ 的比例关系。
3. 将 $b^2$ 替换为 $a^2-c^2$，化简为关于离心率 $e$ 的一元二次方程并求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $P{F}_1\perp x$ 轴，所以 $|P{F}_1|$ 是半通径长，即 $|P{F}_1|=\frac{b^2}{a}$。 又因为 $F_1,F_2$ 为左右焦点，所以 $|F_1{F}_2|=2c$。 在 $\text{Rt}△P{F}_1{F}_2$ 中，$\angle P{F}_1{F}_2=90^{\circ }$， 所以 $\tan \angle F_{1}P{F}_2=\frac{|F_1{F}_2|}{|P{F}_1|}=\frac{2c}{\frac{b^2}{a}}=\frac{2ac}{b^2}$。 已知 $\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$，故 $\frac{2ac}{b^2}=\sqrt{3}$。 将 $b^2=a^2-c^2$ 代入得：$\frac{2ac}{a^2-c^2}=\sqrt{3}$。 分子分母同除以 $a^2$，得：$\frac{2e}{1-e^2}=\sqrt{3}$。 整理得 $\sqrt{3}{e}^2+2e-\sqrt{3}=0$。 解该关于 $e$ 的一元二次方程，得 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $e=-\sqrt{3}$。 因为椭圆的离心率 $0<e<1$，所以 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点三角形，离心率方程的构建。
2. 核心方法：几何特征代数化，齐次式两边除以 $a^2$ 转化为 $e$ 的方程。
3. 避坑指南：熟记过焦点的垂线段长（半通径）为 $\frac{b^2}{a}$ 可大幅简化运算，若现推导容易耗时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线中经典的“通径与离心率”基本模型。
2. 结论推广: 对于椭圆，若过焦点且垂直于长轴的弦长为 $L$，则 $L=\frac{2b^2}{a}=2a(1-e^2)$，这是建立离心率不等式或方程的高频考点。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-北京卷理-19 解-椭圆