2012-湖北卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查一元二次方程的求根公式，以及复数的概念及代数表示。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 方程 $x^2+6x+13=0$ 的一个根是()

A. $-3+2i$　　　　B. $3+2i$　　　　C. $-2+3i$　　　　D. $2+3i$

🔍【思路分析】

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1. 计算判别式确定根的属性：计算一元二次方程的判别式 $\Delta =b^2-4ac$。若 $\Delta <0$，说明方程在实数范围内无解，但在复数范围内有一对共轭复数根。
2. 运用求根公式求解（解法一）：直接套用一元二次方程求根公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$，利用 $\sqrt{-1}=i$ 进行化简。
3. 运用配方法求解（解法二）：利用完全平方公式对前两项进行配方，将方程变形为 $(x+m{)}^2=-n(n>0)$ 的形式，两边直接开平方引入虚数单位 $i$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：标准求根公式法 已知一元二次方程为 $x^2+6x+13=0$，其中各项系数分别为： $a=1,b=6,c=13$

首先计算方程的判别式 $\Delta$： $\Delta =b^2-4ac=6^2-4\times 1\times 13=36-52=-16$ 因为 $\Delta =-16<0$，方程在复数域内有一对共轭复数根。

带入一元二次方程求根公式： $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6\pm \sqrt{-16}}{2\times 1}$

根据虚数单位的性质， $\sqrt{-16}=\sqrt{16\times (-1)}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{-1}=4i$。将此代入上式： $x=\frac{-6\pm 4i}{2}$ 分子与分母同时约去公因数 2，执行复数的除法化简： $x=-3\pm 2i$

也就是说，该方程的两个复数根分别为 $x_1=-3+2i$ 和 $x_2=-3-2i$。 对照各选项，A选项 $-3+2i$ 恰好为其中一个根。

故选 A

解法二：完全平方配方法 我们可以通过对自变量项进行配方来更直观地求解。 原方程为： $x^2+6x+13=0$。 将常数项 13 拆分为 $9+4$，以便与前两项凑成完全平方式： $(x^2+6x+9)+4=0$ 利用完全平方公式 $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ 进行等恒变形： $(x+3{)}^2+4=0$ 将常数项 4 移项到方程右端： $(x+3{)}^2=-4$

在复数集中，对等式两边同时开平方。因为 $-4=4\times (-1)=4i^2$： $x+3=\pm \sqrt{-4}⟹x+3=\pm 2i$ 将左端的 3 移项至右端，直接求得方程的两个根为： $x=-3\pm 2i$

符合题意的根为 $-3+2i$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数集中负数开平方根的运算法则、一元二次方程求根公式的拓展应用。
2. 核心方法：配方开方法。对于二次项系数为 1 且一次项系数为偶数（如本题中的 6）的实系数一元二次方程，在复数域求根时，使用配方法省去了算大数判别式的过程，心算速度通常快于求根公式法。
3. 避坑指南：

• 根号内负号提取漏掉 $i$：在化简 $\sqrt{-16}$ 时，部分考生容易习惯性地写成 $\pm 4$，忽略了负号产生的虚数单位。切记实系数方程在 $\Delta <0$ 时，求出来的根必然带有虚数单位 $i$。
• 实部与虚部符号错认：注意求根公式中前面是 $-b$，本题 $b=6$，故公式前项为 $-6$，化简后实部为 $-3$。极易因粗心大意误选 B（ $3+2i$ ）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第三章《复数》中关于复数代数形式的四则运算及实系数一元二次方程解法的课后基础习题。属于高考理科数学卷中卷首靠前的送分题。
2. 结论推广:

• 实系数一元二次方程共轭复数根定则：对于任意一个实系数一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0(a,b,c\in \mathbb{R})$。
• 当其判别式 $\Delta =b^2-4ac<0$ 时，方程在复数集内必然拥有且仅拥有一对互为共轭复数的虚根。
• 其严格的复数根通式恒表现为： $x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$
• 掌握此通式结构，不仅能快速解决题目的计算，更能深刻理解在后续多项式函数因式分解中，复数根成对出现的代数本质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数

• 2002-上海卷理-01 填-复数的代数运算

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