2011-湖南卷理-06 单-定积分

本题导读

本题考查定积分的几何意义，以及三角函数的定积分。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 由直线 $x=-\frac{\pi }{3}$，$x=\frac{\pi }{3}$，$y=0$ 与曲线 $y=\cos x$ 所围成的封闭图形的面积为 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$ 时，$\cos x>0$，围成图形的面积等于函数 $\cos x$ 在该区间的定积分。
2. 利用被积函数的偶函数对称性简化为 $2{\int }_0^{\pi /3}\cos x\mathrm{d}x$。
3. 利用微积分基本定理代入原函数 $\sin x$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$ 时，$\cos x⩾\frac{1}{2}>0$。 所求封闭图形的面积为： $S={\int }_{-\pi /3}^{\pi /3}\cos x\mathrm{d}x$。 因为 $\cos x$ 为偶函数，所以： $S=2{\int }_0^{\pi /3}\cos x\mathrm{d}x=2{\left[\sin x\right]}_0^{\pi /3}=2\left(\sin \frac{\pi }{3}-\sin 0\right)=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：定积分的几何意义、微积分基本定理。
• 核心方法：利用区间对称性与函数奇偶性简化定积分计算。
• 避坑指南：必须先验证区间内函数值的正负，若跨越 $x$ 轴则需分段取绝对值计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高等数学一元函数积分学中平面图形面积计算的典型范例。
• 结论推广：对称区间 $[-a,a]$ 上偶函数的积分满足 ${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$，奇函数积分为 0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义
• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算
• 2014-陕西卷理-03 单-定积分