2012-湖北卷理-05 单-同余与整除

本题导读

本题考查整数的整除性质，以及同余定理及其运算法则。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 设 $a\in \mathbb{Z}$，且 $0\le a<13$，若 $51^{2012}+a$ 能被 13 整除，则 $a=$()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 11　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化整除为同余语言：题干中 “$51^{2012}+a$ 能被 13 整除” 等价于数学同余式 $51^{2012}+a\equiv 0(\mathrm{mod}13)$，移项得 $a\equiv -51^{2012}(\mathrm{mod}13)$。
2. 底数降维化简（同余性质）：首先计算底数 51 除以 13 的余数。由于 $51=13\times 3+12$，或者利用负同余 $51=13\times 4-1$，将底数 51 转化为 $-1$（或 12）。
3. 计算幂次的同余值：根据同余的乘方性质， $51^{2012}\equiv (-1{)}^{2012}(\mathrm{mod}13)$。由于指数 2012 是偶数，可以极其简便地算出其余数，进而求出 $a$ 的有界取值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据数论中的同余定理， “$51^{2012}+a$ 能被 13 整除” 用同余式可以规范表示为： $51^{2012}+a\equiv 0(\mathrm{mod}13)\text{(1)}$

第一步：对底数进行同余化简 我们分析底数 51 与除数 13 的数量关系： $51=13\times 4-1$ 由此可知，51 除以 13 的负余数为 $-1$，即： $51\equiv -1(\mathrm{mod}13)$

第二步：利用乘方性质计算 $51^{2012}$ 的余数 根据同余定理的乘方可积性（若 $A\equiv B(\mathrm{mod}m)$，则 $A^n\equiv B^n(\mathrm{mod}m)$），我们将底数直接替换： $51^{2012}\equiv (-1{)}^{2012}(\mathrm{mod}13)$

因为指数 2012 是一个正偶数，根据负数的偶次方性质， $(-1{)}^{2012}=1$。 因此可得： $51^{2012}\equiv 1(\mathrm{mod}13)\text{(2)}$ 这说明大数 $51^{2012}$ 除以 13 的余数严格等于 1。

第三步：求解未知数 $a$ 将②式的结果代回原始同余方程①中： $1+a\equiv 0(\mathrm{mod}13)$ 移项变形得： $a\equiv -1(\mathrm{mod}13)$

由于在模 13 的剩余系中， $-1$ 与 $13-1=12$ 是完全同余的，即： $a\equiv 12(\mathrm{mod}13)$

题目已知参数 $a$ 的硬性有界取值范围约束为： $a\in \mathbb{Z}\text{且}0\le a\le 13$ 在闭区间 $[0,13]$ 内部，满足除以 13 余 12 的整数有且仅有一个，即为 12。 （注：若条件放开到 $a=13$，由于 $13\equiv 0(\mathrm{mod}13)$，亦不满足方程）。

所以， $a$ 的代数结果为 12。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同余方程的基本运算法则、大数幂次整除问题的化归思想。
2. 核心方法：负同余化简法。在处理形如 $A^n(\mathrm{mod}m)$ 的数论问题时，如果直接用正余数（如本题中 $51\equiv 12(\mathrm{mod}13)$ ），会导致后续需要计算 $12^{2012}$，依然无法直接口算。巧妙利用负同余将底数转化为 $1$ 或 $-1$（如 $51\equiv -1(\mathrm{mod}13)$ ），利用 1 的任意次方恒等于 1 的特性，可以瞬间实现高维降维。
3. 避坑指南：

• 陷入“看个位数”的玄学伪逻辑：如原图有毒解析所示，千万不能盲目使用个位数的循环规律去判定除以 10 以外其他数字（如 13、17 等质数）的整除性。这种伪逻辑在面对复杂试题时会彻底失效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于全日制普通高级中学数学选修教材（老高考选修 4-4《初等数论初步》或新教材选择性必修模块数字整除性拓展延伸题）。属于高考考查初等数论基本功的经典中档小题。
2. 结论推广:

• 邻项幂次同余整除快速模型：对于任意一组正整数 $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。若一含有未知参数 $a$ 的多项式满足整除特征： $(k\cdot m-1{)}^n+a\equiv 0(\mathrm{mod}m)$
• 依据上述负同余二分法展开，其参数 $a$ 的对应收敛余数完全由指数 $n$ 的奇偶性刚性决定。
• 严格的通用快速得出解集模型恒表现为： $a\equiv \{\begin{array}{ll}12(\mathrm{mod}m),& \text{当 }n\text{ 为偶数}\\ 1(\mathrm{mod}m),& \text{当 }n\text{ 为奇数}\end{array}$
• 本题中除数 $m=13$，底数 $51=4\times 13-1$，指数 $n=2012$ 为偶数。直接套用该模型通式第一行，口算输出 $a=13-1=12$。熟记这一邻项模幂模型，在面对任何大数高阶整除填空题时，均能做到直接直接得出答案。

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