2012-湖北卷理-18 解-数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的定义。核心在于对称设元法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 前三项的和为 $-3$，前三项的积为 $8$.

(1) 求等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $a_2,a_3,a_1$ 成等比数列，求数列 $\{|a_n|\}$ 的前 $n$ 项的和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对称设元法求首项与公差（第1问）：由于已知等差数列前三项的和与积，若直接设首项为 $a_1$, 公差为 $d$，建立三元二次方程组会使得乘积项极其繁琐。高效做法是直接设前三项分别为 $a-d,a,a+d$。利用加法消去 $d$ 直接快速得出出第二项 $a$，再通过乘积式轻松算出 $d$，最后转化为标准通项。
2. 等比中项条件筛选通项（第2问）：将第一问求出的两种通项可能分别代入条件中。利用等比数列的充要条件（等比中项公式 $a_3^2=a_2\cdot a_1$）进行检验，排除掉产生矛盾的无效通项。
3. 绝对值分段讨论求和：针对留下来的通项公式，分析各项变号的临界点。去掉绝对值符号后，将总和 $S_n$ 拆分为负数项和正数项两部分，分别利用等差数列求和公式进行计算，最后合并为规范的分段函数输出。

✅【答案】

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(1) $a_n=-3n+5$ 或 $a_n=3n-7$

(2) $S_n=\{\begin{array}{ll}4,& n=1\\ \frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+10,& n\ge 2\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 求等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。为了简化运算，我们将前三项对称地设为： $a_1=a-d,a_2=a,a_3=a+d$

根据题目给出的第一个条件“前三项的和为 $-3$”，列出代数方程： $(a-d)+a+(a+d)=-3⟹3a=-3⟹a=-1$ 由此直接求得第二项： $a_2=-1$

再根据第二个条件“前三项的积为 $8$”，将 $a=-1$ 代入乘积方程中： $(a-d)\cdot a\cdot (a+d)=8⟹(-1-d)\cdot (-1)\cdot (-1+d)=8$ 两边同时乘以 $-1$，并利用平方差公式展开： $(-1-d)(-1+d)=-8⟹1-d^2=-8⟹d^2=9$ 对 $d^2=9$ 进行开平方，解得公差 $d$ 有两种可能： $d=3\text{或}d=-3$

• 情况一：当 $a=-1,d=-3$ 时 首项为： $a_1=a-d=-1-(-3)=2$ 其通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=2-3(n-1)=-3n+5$
• 情况二：当 $a=-1,d=3$ 时 首项为： $a_1=a-d=-1-3=-4$ 其通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=-4+3(n-1)=3n-7$

综上所述，等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=-3n+5\text{或}{a}_n=3n-7$

（2） 求数列 $\{|a_n|\}$ 的前 $n$ 项的和

第一步：利用等比数列条件进行解的筛选 题目已知 $a_2,a_3,a_1$ 顺次成等比数列，根据等比中项性质，它们必须严格满足如下数量关系： $a_3^2=a_2\cdot a_1\text{(1)}$

我们分别对第（1）问求得的两组通项可能进行代入检验：

• 若 $a_n=-3n+5$： 此时前三项的值分别为： $a_1=2,a_2=-1,a_3=-4$。 代入①式左端： $a_3^2=(-4{)}^2=16$；右端： $a_2\cdot a_1=(-1)\times 2=-2$。 因为 $16\ne -2$，等式不成立，此解舍去。
• 若 $a_n=3n-7$： 此时前三项的值分别为： $a_1=-4,a_2=-1,a_3=2$。 代入①式左端： $a_3^2=2^2=4$；右端： $a_2\cdot a_1=(-1)\times (-4)=4$。 因为 $4=4$，条件完全契合。

因此，确定该等差数列的唯一有效通项公式为： $a_n=3n-7$

第二步：对新数列 $\{|a_n|\}$ 进行分段去绝对值化简 我们要讨论新数列 $|a_n|=|3n-7|$ 各项的正负分布：

• 当 $n=1$ 时， $a_1=-4⟹|a_1|=4$；
• 当 $n=2$ 时， $a_2=-1⟹|a_2|=1$；
• 当 $n\ge 3$ 时， $3n-7\ge 3\times 3-7=2>0$。此时各项均为正数，直接去掉绝对值： $|a_n|=3n-7$。

也就是说，新数列 $\{|a_n|\}$ 的前几项依次为： $4,1,2,5,8,11,\cdots$ 可以观察到，从第三项开始，数列退化变成了一个首项为 2、公差为 3 的标准新等差数列。

第三步：分段讨论计算前 $n$ 项和 $S_n$

• 当 $n=1$ 时： $S_1=|a_1|=4$
• 当 $n=2$ 时： $S_2=|a_1|+|a_2|=4+1=5$
• 当 $n\ge 3$ 时： 我们可以将总和 $S_n$ 拆分为前两项的固定常数和，加上从第三项到第 $n$ 项的等差数列和： $S_n=(|a_1|+|a_2|)+{\sum }_{i=3}^n|a_i|=5+\left[|a_3|+|a_4|+\cdots +|a_n|\right]$ 由于后半部分一共有 $n-3+1=n-2$ 项，其首项为 $|a_3|=2$，末项为 $|a_n|=3n-7$。 直接套用等差数列求和公式 $\frac{\text{项数}\times (\text{首项}+\text{末项})}{2}$： $S_n=5+\frac{(n-2)\cdot \left[2+(3n-7)\right]}{2}$ $S_n=5+\frac{(n-2)(3n-5)}{2}=5+\frac{3n^2-5n-6n+10}{2}$ $S_n=5+\frac{3n^2-11n+10}{2}=\frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+5+5$ $S_n=\frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+10$

我们执行边界对齐检验：将 $n=2$ 代入上述通项式中： $S_2=\frac{3}{2}\times 2^2-\frac{11}{2}\times 2+10=6-11+10=5$ 计算结果与前面单独算出的 $S_2=5$ 完美契合，因此 $n=2$ 可以并入下半部分的分段式中（但 $n=1$ 带入得到 $10-4=6\ne 4$，故 $n=1$ 必须保持独立）。

综上所述，新数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 的规范表达式为： $S_n=\{\begin{array}{ll}4,& n=1\\ \frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+10,& n\ge 2\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差/等比中项性质的交叉判定、绝对值变号数列的分段求和通用技术。
2. 核心方法：对称设元法。面对已知前三项和与积的特殊等差数列小题，无条件采用 $(a-d,a,a+d)$ 进行高维化简，利用加法消去 $d$ 直接求出中间项，是彻底规避高次多项式方程组联立的标杆大招。
3. 避坑指南：

• 通项公式计算漏负号或笔误：如原题有毒解析所示，由首项 2 和公差 $-3$ 组合时，极易因粗心写成 $3n+5$。务必在草稿纸上代入 $n=1$ 进行复核。
• 绝对值求和时项数点错：在计算 $n\ge 3$ 的后半部分等差和时，项数是 $n-2$ 项，而不是 $n$ 或 $n-3$ 项。数错项数会导致整道解答题的后半部分满分彻底泡汤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于等差数列求和性质及绝对值变号综合应用的章末压轴解答题。
2. 结论推广：

• 单调递增变号等差数列绝对值总和通用快速模型：若一等差数列的通项公式为 $a_n=pn-q(p>0)$，且其在第 $m$ 项开始由负数转为正数。
• 则该数列对应的绝对值新数列的前 $n$ 项和 $S_n(n\ge m)$，在经过代数变号提取合并后，其最终的二次函数通式结果具有极高的结构守恒性。
• 掌握这种“先找临界项、再分段求和、最后边界检验”的三步走固定解题流，在高考面对任何变号数列（如前 $n$ 项和最值、绝对值和）的综合解答题时，均能做到逻辑无缝衔接，稳拿满分。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式 类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和

• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式