2012-湖南卷理-05 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦距为 $10$，点 $P(2,1)$ 在 $C$ 的渐近线上，则 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$

C. $\frac{x^2}{80}-\frac{y^2}{20}=1$　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{80}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为焦距 $2c=10$，所以半焦距 $c=5$。
2. 因为焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，所以将点 $P(2,1)$ 代入 $y=\frac{b}{a}x$ 可得 $a$ 与 $b$ 的比例关系。
3. 因为双曲线满足 $a^2+b^2=c^2$，所以联立方程即可解出 $a^2$ 与 $b^2$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且焦距为 $10$， 所以 $2c=10⟹c=5⟹c^2=25$。

因为双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，且点 $P(2,1)$ 在渐近线上， 所以 $1=\frac{b}{a}\times 2⟹a=2b⟹a^2=4b^2$。

因为双曲线几何量满足守恒关系 $a^2+b^2=c^2$， 所以 $4b^2+b^2=25⟹5b^2=25⟹b^2=5$。

因为 $b^2=5$ 且 $a^2=4b^2$， 所以 $a^2=4\times 5=20$。

因为 $a^2=20,b^2=5$， 所以双曲线的方程为 $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线基本量 $a,b,c$ 及其固有平方和关系的应用、渐近线方程的坐标卡位。
2. 核心方法：勾股消元代入法。处理圆锥曲线标准方程计算题时，通过几何特征建立比例，再利用固有守恒方阵进行降维消元。
3. 避坑指南：

• 因为焦点在 $x$ 轴上，所以渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$，容易混淆为 $\pm \frac{a}{b}$。
• 因为是双曲线，所以满足 $a^2+b^2=c^2$，容易思维定势错套用椭圆的 $a^2-b^2=c^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于双曲线简单几何性质的章末常规复习选择题。
2. 结论推广：

• 渐近线定点包络圆锥曲线模型：在平面直角坐标系中，对于任意标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若其上任意已知定点 $P(x_0,y_0)(x_0\cdot y_0>0)$ 位于渐近线上。因为该几何关系确定，所以离心率平方 $e^2$ 恒表现为与点坐标完全解耦的固定斜率函数： $e^2\equiv 1+{\left(\frac{y_0}{x_0}\right)}^2$
• 因为本题中点 $P(2,1)$，所以 $\frac{y_0}{x_0}=\frac{1}{2}$，代入模型可得 $e^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。因为 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{25}{a^2}$，所以 $\frac{25}{a^2}=\frac{5}{4}⟹a^2=20$，进而可快速验证最终答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表 类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线

• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程