2012-湖南卷理-08 单-幂指对

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及绝对值函数与对数方程的解。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)）已知两条直线 $l_{1} : y = m$ 和 $l_{2} : y = \frac{8}{2 m + 1} (m > 0)$ ， $l_{1}$ 与函数 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 的图象从左至右相交于点 $A, B$ ， $l_{2}$ 与函数 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 的图象从左至右相交于点 $C, D$ ，记线段 $A C$ 和 $B D$ 在 $x$ 轴上的投影长度分别为 $a, b$ .当 $m$ 变化时， $\frac{b}{a}$ 的最小值为()

A. $162$ 　　　　　　B. $82$ 　　　　　　C. $834$ 　　　　　　D. $434$

🔍【思路分析】

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因为已知 $A, B$ 是直线 $y = m$ 与 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 的交点，所以拆分绝对值解方程。当 $0 < x < 1$ 时 $lo g_{2} x = - m ⟹ x = 2^{- m}$ ；当 $x \geq 1$ 时 $lo g_{2} x = m ⟹ x = 2^{m}$ 。由此直接得到 $A, B$ 的横坐标。同理可得 $C, D$ 的横坐标。

因为线段在 $x$ 轴上的投影长度等于两端点横坐标差的绝对值，所以设 $n = \frac{8}{2 m + 1}$ ，则 $a = ∣ x_{C} - x_{A} ∣ = ∣ 2^{- n} - 2^{- m} ∣$ ， $b = ∣ x_{D} - x_{B} ∣ = ∣ 2^{n} - 2^{m} ∣$ 。

因为需要求解 $\frac{b}{a}$ 的最小值，所以代入表达式并利用分子分母提取公因式进行有理化消元，将比值转化为关于 $m$ 和 $n$ 的指数幂形式，最后通过基本不等式配凑出最值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y = ∣ lo g_{2} x ∣ = {- lo g_{2} x, lo g_{2} x, 0 < x < 1 x \geq 1$ ，且直线 $l_{1} : y = m (m > 0)$ ，所以联立方程由从左至右相交于 $A, B$ 两点可得： $- lo g_{2} x_{A} = m ⟹ x_{A} = 2^{- m}$ $lo g_{2} x_{B} = m ⟹ x_{B} = 2^{m}$

为了书写简便，我们令常数项分式 $n = \frac{8}{2 m + 1} > 0$ 。因为直线 $l_{2} : y = n$ 与函数从左至右相交于 $C, D$ 两点，同理可得： $x_{C} = 2^{- n}, x_{D} = 2^{n}$

因为线段 $A C$ 和 $B D$ 在 $x$ 轴上的投影长度分别为 $a, b$ ，所以根据投影的几何定义，长度等于横坐标差的绝对值： $a = ∣ x_{C} - x_{A} ∣ = ∣ 2^{- n} - 2^{- m} ∣$ $b = ∣ x_{D} - x_{B} ∣ = ∣ 2^{n} - 2^{m} ∣$

因为当 $m = n$ 时， $a = b = 0$ ，分式 $\frac{b}{a}$ 无意义，故此时不合题意。我们讨论 $m \neq = n$ 时的情形，由于对称性，不妨设 $m > n$ ：因为 $m > n > 0$ ，所以有 $2^{m} > 2^{n}$ 且 $2^{- n} > 2^{- m}$ 。由此去掉绝对值符号，可得长度的显式表达式为： $a = 2^{- n} - 2^{- m}$ $b = 2^{m} - 2^{n}$

将 $a, b$ 的表达式代入目标比值中，执行同底数幂的因式分解与提取公因式： $\frac{b}{a} = \frac{2 ^{m} - 2 ^{n}}{2 ^{- n} - 2 ^{- m}} = \frac{2 ^{m} - 2 ^{n}}{\frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{2 ^{m}}} = \frac{2 ^{m} - 2 ^{n}}{\frac{2 ^{m} - 2 ^{n}}{2 ^{m} \cdot 2 ^{n}}}$

因为分子的整个多项式因式 $(2^{m} - 2^{n}) \neq = 0$ ，可以在分式上下两端完全约去，所以化简可得： $\frac{b}{a} = 2^{m} \cdot 2^{n} = 2^{m + n}$

将 $n = \frac{8}{2 m + 1}$ 反代回指数位置： $m + n = m + \frac{8}{2 m + 1} (1)$

因为指数位置含有分式，为了套用基本不等式求极小值，我们对①式进行配凑变形，构造出互为倒数的关系项： $m + \frac{8}{2 m + 1} = \frac{1}{2} (2 m + 1) + \frac{8}{2 m + 1} - \frac{1}{2}$

因为 $m > 0 ⟹ 2 m + 1 > 0$ ，所以依据均值不等式 $x + y \geq 2 x y$ ，满足： $\frac{1}{2} (2 m + 1) + \frac{8}{2 m + 1} \geq 2 \frac{1}{2} (2 m + 1) \cdot \frac{8}{2 m + 1} = 24 = 4$

将该放缩边界代回指数项的整体计算中： $m + n \geq 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

根据基本不等式取等号的充要条件，当且仅当 $\frac{1}{2} (2 m + 1) = \frac{8}{2 m + 1} ⟹ (2 m + 1)^{2} = 16 ⟹ 2 m + 1 = 4 ⟹ m = \frac{3}{2}$ 时等号成立。因为 $\frac{3}{2} > 0$ ，符合定义域。

所以，指数部分 $m + n$ 的几何最小值为 $\frac{7}{2}$ 。由此求得目标比值的最小值为： $(\frac{b}{a})_{min} = 2^{\frac{7}{2}} = 2^{7} = 128 = 82$

（注：若当 $m < n$ 时，同理可得 $\frac{b}{a} = 2^{m + n}$ ，最值计算完全对偶一致。）

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与指数方程的互化、射影长度的代数表达、指数幂乘法运算法则、均值不等式的拆项配凑技术。

核心方法：指数有理化因式分解法。本题初看含有对数绝对值和复杂分式，极易让人望而生畏。最核心的解题大招在于利用指对互化将横坐标“指数化”。进入指数域后，利用 $2^{- n} - 2^{- m} = \frac{2 ^{m} - 2 ^{n}}{2 ^{m + n}}$ 将分子分母的动态项整式约去，直接将高维函数压缩成底数固定的简单指数函数，是攻克这类复杂代数最值题的标志性通法。

避坑指南：

因为在化简指数位置 $m + \frac{8}{2 m + 1}$ 时无法直接用均值不等式（变量乘积不为定值），所以必须通过变形，在前面凑出具有 $(2 m + 1)$ 特征的项。注意后面要对应扣除多加的常量 $\frac{1}{2}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第四章《对数函数与指数函数》中关于对数图象变换与基本不等式求最值的压轴能力填空/选择题。

结论推广：

绝对值对数图象双交点对偶截距乘积模型：在实数系中，设有一标准对数绝对值函数 $y = ∣ lo g_{a} x ∣ (a > 1)$ 。若有任意两条不同高度的水平线 $y = m_{1}$ 与 $y = m_{2} (m_{1}, m_{2} > 0)$ 分别复交该曲线于内侧、外侧共四点。因为其关于 $x = 1$ 呈现逻辑乘法对称，所以其横向跨度之比 $\frac{b}{a}$ 恒表现为关于两割线高度之和的刚性一元指数函数关系： $\frac{b}{a} \equiv a^{m_{1} + m_{2}}$

因为本题中底数 $a = 2$ ，高度分别为 $m_{1} = m, m_{2} = \frac{8}{2 m + 1}$ ，所以直接套用推广模型快速得出： $\frac{b}{a} = 2^{m + \frac{8}{2 m + 1}}$ 。只需针对指数项进行一步均值不等式化简即可锁定答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

03.04 绝对值不等式及排序不等式 类题演练 (Links)

2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域

2010-浙江卷文-02 单-对数方程

2013-新课标II卷理-08 单-对数运算

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