2012-湖南卷理-14 填-程序框图

本题导读

本题考查算法与程序框图，以及循环结构。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 $x=-1,n=3$，则输出的数 $S=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为已知初始输入为 $x=-1,n=3$，所以根据框图初始化赋值：令 $S=6$，循环控制变量 $i=n-1=3-1=2$。
2. 因为进入判定框的条件是 $i\ge 0$，所以此时 $i=2\ge 0$ 为“是”，执行循环体。
3. 因为循环体的更新指令为 $S=S\cdot x+i+1$，然后 $i=i-1$，所以严格依此代数序列顺次完成循环，直至 $i$ 递减到负数产生“否”分支，跳出循环输出 $S$。

✅【答案】

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$-4$

✍【详细解析】

Abstract

根据程序框图的逻辑流向，我们将每一次循环的变量状态演轨追踪记录如下：

初始状态： 输入： $x=-1,n=3$。 执行赋值： $S=6$， $i=n-1=3-1=2$。

第一轮循环：

• 判定：当前 $i=2$，满足条件 $i\ge 0$，执行“是”分支。

• 变量 $S$ 更新： $S=S\cdot x+i+1⟹S=6\times (-1)+2+1=-6+3=-3$

• 变量 $i$ 更新： $i=i-1⟹i=2-1=1$

第二轮循环：

• 判定：当前 $i=1$，满足条件 $i\ge 0$，执行“是”分支。

• 变量 $S$ 更新： $S=S\cdot x+i+1⟹S=(-3)\times (-1)+1+1=3+2=5$

• 变量 $i$ 更新： $i=i-1⟹i=1-1=0$

第三轮循环：

• 判定：当前 $i=0$，满足条件 $i\ge 0$，执行“是”分支。

• 变量 $S$ 更新： $S=S\cdot x+i+1⟹S=5\times (-1)+0+1=-5+1=-4$

• 变量 $i$ 更新： $i=i-1⟹i=0-1=-1$

跳出循环：

• 判定：当前 $i=-1$，不满足条件 $i\ge 0$，执行“否”分支。
• 框图流向指向“输出 $S$”。 此时变量 $S$ 的值为 $-4$。

故输出的数 $S=-4$。

故答案为：-4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：当型循环结构框图的算法流程、控制变量 $i$ 递减的位置与条件判定时机、负数乘法运算的符号变换。
2. 核心方法：循环变量步进追踪表。处理任何程序框图大题，最稳妥的做法是在草稿纸上列出表格，记录 $i$ 和 $S$ 的变化顺序，从而避免因大脑记忆负荷过重而算错轮数。
3. 避坑指南：

• 因为在计算过程中输入 $x=-1$，所以每一次乘法都会使 $S$ 的正负号交替反转。必须注意第一步 $(-3)\times (-1)=+3$，不要因漏看符号而导致连锁计算笔误。
• 因为循环体中先更新 $S$ 再更新 $i$，所以在最后一轮（ $i=0$ ）计算中，代入算式中的 $i$ 必须是 $0$，计算完毕后 $i$ 才递减为 $-1$ 从而跳出循环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材必修3《算法初步》中关于秦九韶算法及多项式求值程序框图的常规复习填空题。
2. 结论推广：

• 秦九韶算法多项式迭代通用回归模型：若仔细审视该程序框图的代数逻辑，其执行的本质是高阶多项式求值的秦九韶算法（Horner’s Method）。该程序在 $i$ 从 $n-1$ 降到 0 结束时，实际输出的数值 $S$ 刚性对应着如下的一元特征多项式在 $x$ 处的精确函数值： $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$
• 因为本题中初始 $S=6⟹a_3=6$，且每次增加的常数项为 $i+1$，即 $a_2=2+1=3$、 $a_1=1+1=2$、 $a_0=0+1=1$。故该框图等价于求多项式 $P(x)=6x^3+3x^2+2x+1$ 在 $x=-1$ 处的代数式值： $P(-1)=6\times (-1{)}^3+3\times (-1{)}^2+2\times (-1)+1=-6+3-2+1=-4$
• 结果完全一致。熟记这一“秦九韶算法框图模型”，未来在考场上面对阶数极高的程序框图时，均能直接转化为多项式代入化简，实现高精度的快速校验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语 类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-06 单-程序框图

• 2013-辽宁卷理-08 单-程序框图

• 2013-重庆卷理-08 单-程序框图