2013-辽宁卷理-08 单-程序框图

本题导读

本题考查算法，以及程序框图。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 执行如图所示的程序框图，若输入 $n=10$，则输出的 $S=$()

A. $\frac{5}{11}$　　　　　　B. $\frac{10}{11}$　　　　　　C. $\frac{36}{55}$　　　　　　D. $\frac{72}{55}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模拟程序逻辑：根据解析中展示的运算规律（图片虽未显示完整框图，但解析明确了逻辑），程序是在计算一个累加和 $S$。
2. 确定求和式：识别出每一项的通项公式为 $a_k=\frac{1}{(2k{)}^2-1}$，求和区间从 $k=1$ 到 $k=n/2$（此处输入 $n=10$，即累加至第 5 项）。
3. 裂项化简：利用分式拆解公式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$ 进行裂项。
4. 求和得出结果：中间项正负抵消，保留首尾项计算。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析程序输出的数学表达式 由解析可知，当输入 $n=10$ 时，输出的 $S$ 为： $S=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{10^2-1}$ 利用平方差公式 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 展开各分母： $S=\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{9\times 11}$

第二步：利用裂项相消法求和 通项公式为 $a_k=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$。 裂项公式：$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$。 带入求和式中： $S=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)\right]$ 中间各项正负抵消，只剩首项和末项： $S=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{11}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{10}{11}=\frac{5}{11}$

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：循环结构的终止条件判定；通项为 $\frac{1}{\text{两个等差数乘积}}$ 的数列求和。

核心方法：裂项相消法。这是处理分式数列求和的最高效手段，关键在于确定前面的系数（本题为 $1/2$）。

避坑指南：注意最后一项的下标。输入 $n=10$ 时，分母最大是 $10^2-1$，不要习惯性地算到第 10 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图中的当型（WHILE）与直到型（UNTIL）循环区别。

结论推广：${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$。

方法推广：对于 $\frac{1}{k(k+m)}=\frac{1}{m}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+m})$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图