2012-福建卷文-12 单-三次函数零点分布

本题导读

本题考查三次函数的零点，以及韦达定理。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 已知 $f(x)=x^3-6x^2+9x-abc$，$a<b<c$，且 $f(a)=f(b)=f(c)=0$. 现给出如下结论：① $f(0)f(1)>0$；② $f(0)f(1)<0$；③ $f(0)f(3)>0$；④ $f(0)f(3)<0$. 其中正确结论的序号是()

A. ①③　　　　　　　B. ①④　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

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三个零点存在要求 $-4<-abc<0$，于是 $f(0)f(1)<0$ 且 $f(0)f(3)>0$，选 ②③。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因 $a$，$b$，$c$ 是 $f(x)$ 的三个零点，故 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$，展开比对得

$a+b+c=6$，$ab+bc+ca=9$，且常数项 $-abc$ 即 $f(0)$。

记 $f(x)=x^3-6x^2+9x+t$（$t=-abc$），其导数 $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$，极大值点 $x=1$、极小值点 $x=3$。

$f$ 有三个不同零点 $a<b<c$ 当且仅当 $f(1)>0$ 且 $f(3)<0$，即 $t+4>0$ 且 $t<0$，故 $-4<t<0$，也就是 $0<abc<4$。

于是 $f(0)=t<0$；$f(1)=t+4>0$，故 $f(0)f(1)<0$，②成立；$f(3)=t<0$，故 $f(0)f(3)=t^2>0$，③成立。

故正确结论为②③，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数零点的分布；根与系数的关系；极值与零点个数的关系

核心方法：把零点条件翻译成”极大值大于零且极小值小于零”，定出参数范围后逐项判号

避坑指南：$f(0)=t=-abc$ 本身就是常数项，不用再算；$f(3)=t$（因 $27-54+27=0$），两问共用一个量；“三个不同零点”必须两个极值异号，缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数零点压轴选择题，与 2014 年新课标Ⅰ文第 12 题、2013 年新课标Ⅱ文第 11 题同族。

结论推广：$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+t$ 有三个不同零点 $⟺$ 极大值 $>0$ 且极小值 $<0$。

方法推广：零点个数问题的通用转化：零点 $\to$ 极值符号；再把具体函数值（如 $f(0)$、$f(3)$）与参数挂钩判号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-12 单-三次函数零点
• 2013-新课标II卷文-11 单-三次函数性质
• 2014-四川卷文-21 解-导数零点证明