2014-四川卷文-21 解-导数零点证明

本题导读

(1) 对 $g\acute{(}x)=e^x-2a$ 按 $a⩽\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}$、$a⩾\frac{e}{2}$ 分类；(2) $f$ 有三个零点 $\Rightarrow g$ 有两个零点 $\Rightarrow$ 端点符号。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=e^x-a{x}^2-bx-1$（$a,b\in \mathbf{R}$，$e$ 为自然对数的底数）.

(1) 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值；

(2) 若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$e-2<a<1$.

🔍【思路分析】

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(1) $g\acute{(}x)=e^x-2a$ 的符号由 $2a$ 与 $1,e$ 比较决定；(2) $f(0)=f(1)=0$ 加内部零点，罗尔定理给 $g$ 两个零点。

✅【答案】

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(1) 最小值为 $\{\begin{array}{ll}1-b,& a⩽\frac{1}{2},\\ 2a-2a\ln (2a)-b,& \frac{1}{2}<a<\frac{e}{2},\\ e-2a-b,& a⩾\frac{e}{2}\end{array}$　(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $g(x)=f\acute{(}x)=e^x-2ax-b$，$g\acute{(}x)=e^x-2a$。 ①当 $a⩽\frac{1}{2}$ 时，$g\acute{(}x)⩾1-2a⩾0$，$g$ 在 $[0,1]$ 上递增，最小值 $g(0)=1-b$； ②当 $a⩾\frac{e}{2}$ 时，$g\acute{(}x)⩽e-2a⩽0$，$g$ 在 $[0,1]$ 上递减，最小值 $g(1)=e-2a-b$； ③当 $\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}$ 时，$g\acute{(}x)=0$ 在 $x=\ln (2a)\in (0,1)$，$g$ 先减后增，最小值 $g(\ln 2a)=2a-2a\ln (2a)-b$。 (2) 证明：$f(0)=0$，$f(1)=e-a-b-1=0$。又 $f$ 在 $(0,1)$ 内有零点 $x_0$， 故 $f$ 在 $[0,1]$ 上有三个不同零点 $0,x_0,1$。由罗尔定理，g=f\' 在 $(0,x_0)$ 与 $(x_0,1)$ 内各有一个零点，即 $g$ 在 $(0,1)$ 内有两个不同零点。 由 (1)：若 $a⩽\frac{1}{2}$ 或 $a⩾\frac{e}{2}$，$g$ 在 $[0,1]$ 上单调，至多一个零点，矛盾； 故 $\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}$，$g$ 在 $[0,\ln 2a]$ 递减、在 $[\ln 2a,1]$ 递增。 若 $g(0)⩽0$，则 $g$ 在 $(0,1)$ 内至多一个零点（减段无变号，增段至多一个），矛盾；同理 $g(1)⩽0$ 也矛盾。 故 $g(0)=1-b=a+2-e>0$ 且 $g(1)=e-2a-b=1-a>0$， 即 $e-2<a<1$，证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数的最值、零点存在性

2. 核心方法：对 $g^{\prime }=e^x-2a$ 按 $a$ 三段分类；罗尔定理 + 端点符号定参数范围

3. 避坑指南：零点问题转化为导函数 $g$ 有两个零点后，必须说明”$g$ 在两端同号、中间为负”才能得 $g(0)>0$ 且 $g(1)>0$；$g(0)=a+2-e$、$g(1)=1-a$ 即结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 利用导数研究函数的最值与零点。

2. 结论推广: $g\acute{(}x)=e^x-2a$ 的零点 $x=\ln (2a)$；零点个数与单调性分段对应。

3. 方法推广: ”$f$ 有三个零点 $\Rightarrow g$ 有两个零点 $\Rightarrow$ 端点值符号”是处理 $e^x$ 型零点证明的标准链条。

🔗【关联脉络】

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