2012-福建卷理-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的代数形式除法运算，以及虚数单位的基本性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $zi=1-i$，则 $z$ 等于()

A. $-1-i$　　　　B. $1-i$　　　　C. $-1+i$　　　　D. $1+i$

🔍【思路分析】

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1. 分离未知数：由已知方程 $zi=1-i$，两边同时除以 $i$，得到 $z=\frac{1-i}{i}$。
2. 分母实数化：利用复数除法运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数 $-i$（或直接同乘 $i$），将分母转化为实数。
3. 结合性质化简：利用 $i^2=-1$ 进行代数化简，最终分离出实部与虚部，锁定正确选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：分母实数化法（标准通法） 由已知条件可得： $z=\frac{1-i}{i}$ 分子与分母同时乘以 $i$： $z=\frac{(1-i)\cdot i}{i\cdot i}$ 展开分子并化简分母： $z=\frac{i-i^2}{i^2}$ 将 $i^2=-1$ 代入式中： $z=\frac{i-(-1)}{-1}=\frac{1+i}{-1}$ 根据分式除法，各项同除以 $-1$： $z=-1-i$

故选 A

解法二：分式拆分法（速算法） 由已知条件可得： $z=\frac{1-i}{i}$ 将分式拆分为两项相减： $z=\frac{1}{i}-\frac{i}{i}$ 根据虚数单位倒数性质 $\frac{1}{i}=-i$，且 $\frac{i}{i}=1$： $z=-i-1=-1-i$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法的基本运算法则、虚数单位性质 $i^2=-1$ 及倒数关系 $\frac{1}{i}=-i$。
2. 核心方法：分母实数化法。处理形如 $z=\frac{a+bi}{c+di}$ 的分式复数，分子分母同乘共轭因式 $c-di$ 转化为标准形，是复数运算的标准化通法。
3. 避坑指南：

• 负号处理失误：在计算 $\frac{i-i^2}{i^2}$ 时，容易因粗心将 $i^2=-1$ 错带入为 $+1$，从而导致结果正负号完全颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第三章《复数》中关于复数代数运算的课后基础练习题。作为全卷开篇第 1 题，属于考查复数四则运算基本功的送分题。
2. 结论推广:

• 一阶纯虚数分式通用快速模型：对于任意形如 $z=\frac{A+Bi}{i}(A,B\in \mathbb{R})$ 的复数表达式。
• 经分式拆分化简： $z=\frac{A}{i}+B=-Ai+B=B-Ai$。
• 可直接提炼出求解此类复数的通用快速快捷公式： $\frac{A+Bi}{i}=B-Ai$
• 本题中 $A=1,B=-1$，直接套用公式可瞬时得出： $z=-1-1i=-1-i$。熟记此对应结构，可在高考考场上实现 快速得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模

• 2006-天津卷理-01 单-复数的除法运算

• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算