2012-福建卷理-02 单-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1+a_5=10$， $a_4=7$，则数列 $\{a_n\}$ 的公差为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 基本量法思路：设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。由通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 将已知条件 $a_1+a_5=10$ 和 $a_4=7$ 分别展开，转化为关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组，联立消元解出 $d$。
2. 中项性质法思路（最优解）：根据等差数列的对称性质， $a_1+a_5=2a_3$，由此可直接算出中间项 $a_3=5$。又因为已知 $a_4=7$，公差定义即为相邻两项的差 $d=a_4-a_3$，直接作差即可快速得出。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：等差中项性质法（最优解） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，由于 $1+5=3+3$，根据等差中项的性质满足： $a_1+a_5=2a_3$ 已知 $a_1+a_5=10$，代入可得： $2a_3=10⟹a_3=5$

根据等差数列公差的定义，相邻两项的差为公差 $d$： $d=a_4-a_3$ 已知 $a_4=7$， $a_3=5$，代入计算得： $d=7-5=2$

故选 B

解法二：基本量方程法 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可将已知条件展开为： $\{\begin{array}{l}{a}_1+(a_1+4d)=10\text{(1)}\\ a_1+3d=7\text{(2)}\end{array}$ 化简①式得： $2a_1+4d=10⟹a_1+2d=5\text{(3)}$ 用②式减去③式（② - ③）以消去 $a_1$： $(a_1+3d)-(a_1+2d)=7-5$ $d=2$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项公式的代数展开、等差中项性质 $a_i+a_j=2a_{\frac{i+j}{2}}$ 的灵活转换。
2. 核心方法：整体代换性质法。在处理等差数列的项数位置呈现对称规律的题目时（如已知 $a_1+a_5$、 $a_2+a_8$ 等），优先利用中项性质转化为单一项的代数式，可免去解二元一次方程组的繁琐过程，提升做选择题的速率。
3. 避坑指南：

• 基础加减法粗心：在解法二化简方程组时，容易把 $2a_1+4d=10$ 两边同除以 2 错写为 $a_1+2d=10$，导致后续解错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中等差数列通项与性质的课后核心基础题。属于高考考查等差数列基本功的低难度送分题。
2. 结论推广:

• 等差数列相邻项公差快速模型：若已知等差数列中任意对称两项之和 $a_m+a_n=S$（其中 $m+n$ 为偶数），且已知紧邻中项的下一项 $a_{\frac{m+n}{2}+1}=K$。
• 依据等差中项及公差定义，其中项为 $a_{\frac{m+n}{2}}=\frac{S}{2}$。
• 可直接归纳出求解公差 $d$ 的一般化快捷快捷公式： $d=K-\frac{S}{2}$
• 本题中 $S=10,K=7$，直接套用公式： $d=7-\frac{10}{2}=7-5=2$。熟记这一模型，可实现考场上直接得出输出答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结 类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项