2012-福建卷理-03 单-量词命题真假

本题导读

本题考查量词命题的真假判定，以及指数函数与幂函数的图象及性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 下列命题中，真命题是()

A. $\exists x_0\in \mathbb{R},e^{x_0}\le 0$

B. $\forall x\in \mathbb{R},2^x>x^2$

C. $a+b=0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b}=-1$

D. $a>1,b>1$ 是 $ab>1$ 的充分条件

🔍【思路分析】

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1. A选项逻辑：根据指数函数 $y=e^x$ 的值域为 $(0,+\infty )$ 这一特征，可知其在实数域内恒大于 0，从而判定该存在量词命题的真假。
2. B选项逻辑：这是一个全称量词命题。只需在实数集 $\mathbb{R}$ 内寻找一个反例（使得 $2^x\le x^2$ ），即可推翻该命题。
3. C选项逻辑：充要条件要求双向推导皆成立。需特别注意分式 $\frac{a}{b}=-1$ 隐含有分母 $b\ne 0$ 的天然前提约束。
4. D选项逻辑：充分条件判定即若前件成立（ $a>1,b>1$），能否确定推导出后件成立（ $ab>1$）。利用不等式的同向乘法性质进行论证。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

A选项判定：假命题 因为依据指数函数的图象与性质，对于任意的实数 $x\in \mathbb{R}$， $e^x>0$ 恒成立（其值域严格为正实数集）。 因此，在实数集 $\mathbb{R}$ 内根本不存在任何一个 $x_0$ 能够使 $e^{x_0}\le 0$ 成立。该存在量词命题为假命题。

B选项判定：假命题 该全称量词命题声称对所有实数都成立，我们尝试寻找反例：

• 当 $x=2$ 时，左边 $2^2=4$，右边 $2^2=4$，此时 $2^x=x^2$，不等式不成立；

• 当 $x=4$ 时，左边 $2^4=16$，右边 $4^2=16$，此时 $2^x=x^2$，不等式亦不成立。 因为存在反例（如 $x=2$ 或 $x=4$）使得 $2^x>x^2$ 不成立，所以该全称命题为假命题。

C选项判定：假命题 我们对“充分性”与“必要性”分别进行双向检验：

• 必要性（由 $\frac{a}{b}=-1⟹a+b=0$）： 若 $\frac{a}{b}=-1$，两边同乘以 $b$ 可得 $a=-b⟹a+b=0$，反推成立。

• 充分性（由 $a+b=0⟹\frac{a}{b}=-1$）： 若取特例 $a=0,b=0$，此时满足 $a+b=0$。但是当 $b=0$ 时，分式 $\frac{a}{b}$ 的分母为 0，该分式在代数上根本没有意义，更不可能等于 $-1$。 因此， $a+b=0$ 是 $\frac{a}{b}=-1$ 的必要不充分条件，故充要条件的表述是错误的，该选项为假命题。

D选项判定：真命题 已知 $a>1>0$ 且 $b>1>0$。 根据正数不等式的同向同边可乘性定理，将两式同向相乘： $a\cdot b>1\times 1⟹ab>1$ 也就是说，由“ $a>1,b>1$ ”这一前件能够必然、无条件地推导出“ $ab>1$ ”这一后件。根据常用逻辑用语定义， $a>1,b>1$ 是 $ab>1$ 的充分条件，该命题为真命题。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：存在与全称量词命题的否定与判真、充分必要条件的代数转化、不等式基本性质的成立边界。
2. 核心方法：特例反例否定法。在高考选择题中，判定全称量词命题（含有 $\forall$）或某些条件推导命题为假时，不需要进行复杂的数形结合和代数区间推导，直接在大脑中检索 $x=0,1,2$ 或正负号、零值等特殊边界。只要能抓出一个使结论不成立的反例（如本题B中的 $x=2$），就能瞬间将其枪毙。
3. 避坑指南：

• 忽视分式的隐含非零定义域：在辨析C选项时，极易因思维定势直接把 $\frac{a}{b}=-1$ 脑补为 $a=-b$，从而误认为充要条件成立。切记看到分式、对数、根式，首先必须考虑分母非零、真数大于零等天然防御边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第一册第一章《常用逻辑用语》中关于全称量词、存在量词及充要条件判定的章末综合能力测试题。主要考查学生逻辑网格的严密性。
2. 结论推广:

• 分式与整式等价转化充要模型：对于任意代数整式和差 $A+B=0$，若要将其转化为分式商的恒等式 $\frac{A}{B}=-1$。
• 必须通过逻辑约束在条件后侧追加剔除分母零点的限制。
• 即其完备的充要条件表述恒表现为： $\frac{A}{B}=-1⟺A+B=0\text{ 且 }B\ne 0$
• 牢记这一分母防御法则，在面对任何高阶代数方程、解析几何斜率方程的充要条件辨析时，均能做到精准卡位，绝不上当受骗。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

• 06.01 幂指对函数图象与性质 类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递

• 1994-全国卷理-11