2010-安徽卷理-11 填-命题

本题导读

本题主要考查全称命题的否定形式。核心在于将全称量词改为存在量词，并否定结论。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(理)） 命题“对任何 $x\in \mathbf{R},|x-2|+|x-4|>3$”的否定是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别原命题的形式：原命题为全称命题，形式为 $\forall x\in M,p(x)$．

2. 根据全称命题否定的规则：其否定为存在命题，形式为 $\exists x\in M,\neg p(x)$．

3. 将“对任何”改为“存在”（或“$\exists$”），并将“$>3$”改为“$⩽3$”．

点击查看答案

存在 $x \in \mathbf{R}, |x - 2| + |x - 4|

✍【详细解析】

Abstract

原命题是全称命题，其否定形式应为存在命题． 将全称量词“对任何 $x\in \mathbf{R}$”改为存在量词“存在 $x\in \mathbf{R}$”（或 $\exists x\in \mathbf{R}$）， 再将结论“$|x-2|+|x-4|>3$”进行否定，得到“$|x-2|+|x-4|⩽3$”． 因此，该命题的否定为：存在 $x\in \mathbf{R},|x-2|+|x-4|⩽3$．

答案为：存在 $x\in \mathbf{R},|x-2|+|x-4|⩽3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含有一个量词的命题的否定．

2. 核心方法：改量词，否结论．

3. 避坑指南：容易错误地将限制条件“$x\in \mathbf{R}$”也一并否定（例如错写成 $x\notin \mathbf{R}$），或者将“$>$”的否定误写为“$<$”而漏掉等号．

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题属于课本中常用逻辑用语章节的基础练习题变形，旨在考查逻辑推演的基本功．

5. 结论推广: 命题 $\forall x\in A,p(x)$ 的否定显式定义为 $\exists x\in A,\neg p(x)$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

存在𝑥∈𝐑，使得|𝑥−2|+|𝑥−4|⩽3

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷理-07 单-量词命题
• 2012-湖北卷理-02 单-存在量词命题
• 2012-福建卷理-03 单-量词命题真假