2012-福建卷理-11 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） $(a+x{)}^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数等于 8，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出二项式通项通式：对于二项式 $(a+x{)}^4$，根据二项式定理，其展开式的第 $r+1$ 项的通项公式为 $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot a^{4-r}\cdot x^r$。
2. 锁定特征项的次数：题目给出的特征项为 $x^3$，对照通项公式中 $x$ 的指数，直接令 $r=3$。
3. 提取系数建立方程：将 $r=3$ 代入通项中，分离出 $x^3$ 前面的所有代数系数项 ${\text{C}}_4^3\cdot a^{4-3}$，令其等于已知系数 8，求出一元一次方程的解。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，已知二项式 $(a+x{)}^4$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot a^{4-r}\cdot x^r(r=0,1,2,3,4)$

题目要求寻找展开式中包含 $x^3$ 的项，对照通项中 $x$ 的幂次，令： $r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式中，可得展开式的第 4 项为： $T_4={\text{C}}_4^3\cdot a^{4-3}\cdot x^3={\text{C}}_4^3\cdot a\cdot x^3$

计算组合数常数： ${\text{C}}_4^3={\text{C}}_4^1=4$ 由此可得该单项式化简为： $T_4=4a{x}^3$

所以，展开式中 $x^3$ 的代数系数为 $4a$。 根据题意，该系数严格等于 8，从而建立一元一次方程： $4a=8$ 方程两边同时除以 4，解得实数 $a$ 的值为： $a=2$

填空题答案为：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的精确书写、组合数对称性质 ${\text{C}}_n^r={\text{C}}_n^{n-r}$ 的应用。
2. 核心方法：通项公式定序法。处理一切二项式定理中求“特定项”、“常数项”、“系数”的小题，标准的规范三步走：先列通项公式，再由 $\text{x}$ 的指数列方程控死 $r$ 的取值，最后将 $r$ 代回常数项部分独立计算。
3. 避坑指南：

• 项数序号与 $r$ 混淆：切记通项公式左端写的是 $T_{r+1}$，当求 $x^3$ 的系数时 $r=3$，它对应的是展开式的第 4 项（ $T_4$ ），在填空题中虽然不影响计算 $a$，但在要求“求第几项”的大题中极易因思维定势将 $r$ 直接当成项数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中二项式定理的课后标准基础练习题。属于高考考查二项式定理基本功的低难度送分题。
2. 结论推广:

• 一阶简易二项式系数逆求快速模型：对于任意标准的二项式 $(a+x{)}^n$ 展开式中，若已知其特征项 $x^m(m\le n)$ 的代数系数为 $K$。
• 依据通项公式展开，其系数项恒满足： ${\text{C}}_n^m\cdot a^{n-m}=K$。
• 特别地，当已知特征项恰好满足 $m=n-1$（即倒数第二项，如本题中 $n=4,m=3$）时，由于 ${\text{C}}_n^{n-1}=n$，方程退化为 $n\cdot a^1=K$。
• 可直接归纳提炼出求解参数 $a$ 的一阶快速快捷通式： $a=\frac{K}{n}$
• 本题中已知总幂次 $n=4$，特征项系数 $K=8$，直接套用模型通式进行口算： $a=\frac{8}{4}=2$。熟记这一系数对应缩置模型，在面对任何同类低阶二项式填空题时，均能做到直接直接得出输出答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结 类题演练 (Links)

• 2003-广东卷-14

• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项

• 2024-北京卷-04 单-二项式定理