2012-福建卷理-13 填-错位相减

本题导读

本题考查等比数列的通项与基本量，以及三角形中大边对大角的性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 已知 $△ABC$ 的三边长成公比为 $\sqrt{2}$ 的等比数列，则其最大角的余弦值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三边长参数化表示：设三角形中最小的边长为 $a(a>0)$。因为三边成等比数列且公比 $q=\sqrt{2}$，根据等比数列通项公式，其余两边长可依次线性表示为 $\sqrt{2}a$ 和 $2a$。
2. 判定最大角的位置：在任意三角形中，根据“大边对大角，小边对小角”的几何定理，最长边 $2a$ 所对的内角必然是整个三角形中的最大角（设为 $\alpha$）。
3. 余弦定理化简快速得出：将统一用变量 $a$ 表达的三边长代入余弦定理公式 $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a_{\text{对}}^2}{2bc}$ 中。由于分子与分母中关于 $a$ 的二次齐次幂次可完全约分抵消，直接计算常数即可输出答案。

✅【答案】

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$-\frac{\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：用基本量表示三角形的三边长 设 $△ABC$ 中最小的边长为 $a$（显然必须满足 $a>0$）。 因为已知该三角形的三边长构成一个等比数列，且公比为 $q=\sqrt{2}$。 按照从小到大的顺序，三角形的三条边长可以依次定量表示为： $a,\sqrt{2}a,(\sqrt{2}{)}^{2}a=2a$

第二步：锁定最大角对应的边 比较这三条边的大小：因为 $1<\sqrt{2}<2$，所以有： $a<\sqrt{2}a<2a$ 根据平面几何中“大边对大角”的性质定理，三角形中最大的内角必然对应着最长的边。 因此，最长边 $2a$ 所对的内角即为该三角形中的最大角，我们将其记为 $\alpha$。

第三步：利用余弦定理计算余弦值 以最长边 $2a$ 作为对边，其余两边 $a$ 和 $\sqrt{2}a$ 作为邻边，套用余弦定理公式： $\cos \alpha =\frac{a^2+(\sqrt{2}a{)}^2-(2a{)}^2}{2\times a\times (\sqrt{2}a)}$

展开分子与分母中的各平方项与乘积项： $\cos \alpha =\frac{a^2+2a^2-4a^2}{2\sqrt{2}{a}^2}$ 合并分子同类项得： $\cos \alpha =\frac{-a^2}{2\sqrt{2}{a}^2}$

因为边长 $a>0⟹a^2\ne 0$，分子与分母同时约去未知数平方项 $a^2$（实现完全消元）： $\cos \alpha =-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

对分式进行分母有理化，分子分母同乘以 $\sqrt{2}$： $\cos \alpha =-\frac{1\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2\times 2}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

所以，该三角形最大角的余弦值为 $-\frac{\sqrt{2}}{4}$。

填空题答案为：$-\frac{\sqrt{2}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项表达式、三角形边角大小对应定则、余弦定理齐次约分。
2. 核心方法：齐次消元法。在解三角形或解析几何中，如果已知多条线段、边长之间满足明确的比例、倍数或级数关系（如成等差/等比数列），直接引入一个基准参数（如最小边 $a$）将所有线段化归为单变量表达。代入三角公式后，高次项必然会整体约分，这是解决边长未知但角度固定问题的核心技巧。
3. 避坑指南：

• 对边与邻边位置张冠李戴：在代入余弦定理公式时，务必分清分子中减去的是最大角所对应的对边的平方，即减去 $(2a{)}^2$。很多学生容易粗心减错成其他边的平方，导致结果出错。
• 符号遗漏：算出的余弦值为负数（ $-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ），说明该三角形的最大角实际上是一个钝角。切记不要漏掉前方的负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中余弦定理与解三角形的课后基础巩固提升题，与选择性必修第二册《数列》章节进行的经典跨模块小综合。
2. 结论推广:

• 等比边长三角形最大角通用余弦定理快速模型：若一任意三角形的三边长成等比数列，其通用公比设为 $q(q\ge 1)$。
• 依据三角形建构充要条件（两小边之和大于第三边），公比 $q$ 必须满足硬性几何上限约束： $1+q>k^2⟹q<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（即公比必须小于黄金分割比）。
• 此时，该等比三角形的最大角 $\alpha$ 的余弦值完全由公比 $q$ 的单一函数模型锁死，恒表现为如下通用推广快捷公式： $\cos \alpha =\frac{1+q^2-q^4}{2q}$
• 本题中公比 $q=\sqrt{2}$，直接套用此推广快捷公式： $\cos \alpha =\frac{1+(\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^4}{2\times \sqrt{2}}=\frac{1+2-4}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
• 结果一步到位。熟记这一等比三角形边角通用快捷公式，在面对任何同类“等比三边求角度”的选择、填空小题时，均能实现无需画图、直接口算快速得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

• 09.07三角形五心与奔驰定理 类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形

• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形