2012-福建卷理-15 填-函数

本题导读

本题考查新定义运算及其分段函数化，以及二次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 对于实数 $a$ 和 $b$，定义运算 “$\ast$”： $a\ast b=\{\begin{array}{ll}{a}^2-ab,& (a\le b)\\ b^2-ab,& (a>b)\end{array}$. 设 $f(x)=(2x-1)\ast (x-1)$，且关于 $x$ 的方程 $f(x)=m(m\in \mathbb{R})$ 恰有三个互不相等的实数根 $x_1,x_2,x_3$，则 $x_1{x}_2{x}_3$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分段解析式规范化简：令定义式中的 $a=2x-1,b=x-1$。首先比较 $a$ 与 $b$ 的大小：

• 当 $a\le b⟹2x-1\le x-1⟹x\le 0$。此时解析式为 $a^2-ab$。
• 当 $a>b⟹2x-1>x-1⟹x>0$。此时解析式为 $b^2-ab$。 分别代入展开并配方，将其化为标准的两个二次函数分段组合。

2. 数形结合锁定临界高度 $m$：绘制出分段函数 $f(x)$ 的精确直观图象。观察水平动直线 $y=m$ 在何种高度区间内能与函数图象交于 3 个不同的点。由此卡死参数 $m$ 的有界取值范围。
3. 利用韦达定理定量表达三根：由于交点分别落在一左一右两段二次抛物线上，根据二次方程的求根规律：

• 左侧分支（ $x\le 0$）与 $y=m$ 联立，由于抛物线开口向上，该直线与其只能交于 1 个负根（设为 $x_1$），直接用求根公式或因式表达。
• 右侧分支（ $x>0$）与 $y=m$ 联立，该段开口向下，能与其交于 2 个正根（设为 $x_2,x_3$）。利用该段方程的韦达定理直接写出 $x_2{x}_3$ 关于 $m$ 的代数式。

4. 统一变量构建一元函数求值域：将三根之积写作包含参数 $m$ 的一元函数 $g(m)=x_1\cdot (x_2{x}_3)$，结合第 2 步中 $m$ 的有界定义域，求出该函数的值域。

✅【答案】

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$\left(\frac{1-\sqrt{3}}{16},0\right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简分段函数 $f(x)$ 的解析式 按照新定义运算规则，令 $a=2x-1$ ， $b=x-1$。 我们需要分类讨论自变量 $x$ 的范围：

• 当 $a\le b$ 时：即 $2x-1\le x-1⟹x\le 0$。 此时解析式结构为 $a^2-ab$： $f(x)=(2x-1{)}^2-(2x-1)(x-1)$ 提取公因式 $(2x-1)$： $f(x)=(2x-1)[(2x-1)-(x-1)]=(2x-1)x=2x^2-x$ 对其进行完全平方配方： $f(x)=2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)=2{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{8}(x\le 0)$

• 当 $a>b$ 时：即 $2x-1>x-1⟹x>0$。 此时解析式结构为 $b^2-ab$： $f(x)=(x-1{)}^2-(2x-1)(x-1)$ 提取公因式 $(x-1)$： $f(x)=(x-1)[(x-1)-(2x-1)]=(x-1)(-x)=-x^2+x$ 对其进行完全平方配方： $f(x)=-\left(x^2-x\right)=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}(x>0)$

综上所述，规范的分段函数解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-x,& x\le 0\\ -x^2+x,& x>0\end{array}$

第二步：数形结合分析方程根的临界条件 我们在平面直角坐标系中画出函数 $f(x)$ 的几何图象：

• 当 $x\le 0$ 时，图象是一条开口向上的抛物线的左半侧分支。对称轴为 $x=\frac{1}{4}$（在正半轴，故在 $x\le 0$ 上单调递减），端点为 $f(0)=0$。当 $x\to -\infty$ 时， $f(x)\to +\infty$。

• 当 $x>0$ 时，图象是一条开口向下的抛物线。对称轴为 $x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$，右端点延伸交于 $(1,0)$，当 $x>1$ 时函数值降为负数。

关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 恰有三个互不相等的实数根，在几何上等价于水平动直线 $y=m$ 与函数 $f(x)$ 的图象恰好有 3 个不同的交点。 从图象上可以直观看出： 要使直线与左侧弯曲分支有 1 个交点，且同时与右侧的“小山丘”抛物线有 2 个交点， 水平线的高度 $m$ 必须严格介于右侧抛物线的山脚（ $y=0$）与最高顶点（ $y=\frac{1}{4}$）之间。 即参数 $m$ 的取值范围必须满足： $0<m<\frac{1}{4}\text{(1)}$

第三步：代数定量求解三个根的乘积式 设这三个互不相等的实数根从小到大依次为 $x_1,x_2,x_3$。 根据第二步的几何交点定位：

• 根 $x_1$ 必然落在左侧分支上，即 $x_1<0$；
• 根 $x_2,x_3$ 必然落在右侧山丘上，即 $0<x_2<\frac{1}{2}<x_3<1$。

我们可以分别列出对应的二次方程进行定量消元：

1. 对于右侧根 $x_2,x_3$： 它们是方程 $-x^2+x=m⟹x^2-x+m=0$ 的两个不同正实根。 根据一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系），两根之积直接等于常数项： $x_2\cdot x_3=m\text{(2)}$

2. 对于左侧根 $x_1$： 它是方程 $2x^2-x=m⟹2x^2-x-m=0$ 在 $x\le 0$ 区域内的唯一实数根。 利用求根公式展开： $x_1=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\times 2\times (-m)}}{2\times 2}=\frac{1\pm \sqrt{1+8m}}{4}$ 由于已知 $x_1<0$，且由①知 $\sqrt{1+8m}>1$，为了保证结果为负数，根式前必须取负号： $x_1=\frac{1-\sqrt{1+8m}}{4}\text{(3)}$

第四步：构建一元最值函数求解范围 我们将所求的目标代数式 $x_1{x}_2{x}_3$ 结合②式与③式进行整体合并，转化为完全关于参数 $m$ 的一元函数 $g(m)$： $g(m)=x_1\cdot (x_2{x}_3)=\frac{1-\sqrt{1+8m}}{4}\cdot m=\frac{m-m\sqrt{1+8m}}{4}$

为了优雅、简便地求解该式的值域，我们采用有理化换元法。 令无理根式整体为新变元： $t=\sqrt{1+8m}$ 由于已知 $m$ 的定义域范围由①式给定为 $0<m<\frac{1}{4}$，我们求出新变元 $t$ 的合规区间： $0<8m<2⟹1<1+8m<3⟹1<t<\sqrt{3}$ 两边平方并移项，将原参数 $m$ 用 $t$ 反向线性表示： $t^2=1+8m⟹m=\frac{t^2-1}{8}$

将 $m$ 和 $\sqrt{1+8m}=t$ 整体代入三根之积的代数式中，将其化为一个关于 $t$ 的纯高次多项式： $x_1{x}_2{x}_3=\frac{1-t}{4}\cdot \frac{t^2-1}{8}=\frac{-(t-1)\cdot (t-1)(t+1)}{32}=-\frac{(t-1{)}^2(t+1)}{32}$ 将分子完全展开： $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{(t^2-2t+1)(t+1)}{32}=-\frac{t^3+t^2-2t^2-2t+t+1}{32}=\frac{-t^3+t^2+t-1}{32}$

记新函数为 $h(t)=\frac{-t^3+t^2+t-1}{32}$，其自变量范围为 $t\in (1,\sqrt{3})$。 对 $h(t)$ 的分子多项式进行导数单调性分析： $h^{\prime }(t)=\frac{1}{32}(-3t^2+2t+1)=-\frac{1}{32}(3t+1)(t-1)$ 当 $t>1$ 时， $3t+1>0$ 且 $t-1>0$，所以导数恒为负数： $h^{\prime }(t)<0\left(\text{对所有 }t\in (1,\sqrt{3})\text{ 恒成立}\right)$ 这说明函数 $h(t)$ 在开区间 $(1,\sqrt{3})$ 上是一个严格单调递减的函数。

根据单调递减函数的边界特性，其对应的值域由两端点的开边界值反向决定：

• 当 $t\to 1$ 时，取得上限开放边界值： $h(1)=\frac{-1^3+1^2+1-1}{32}=0$
• 当 $t\to \sqrt{3}$ 时，取得下限开放边界值： $h(\sqrt{3})=\frac{-(\sqrt{3}{)}^3+(\sqrt{3}{)}^2+\sqrt{3}-1}{32}=\frac{-3\sqrt{3}+3+\sqrt{3}-1}{32}=\frac{2-2\sqrt{3}}{32}=\frac{1-\sqrt{3}}{16}$

综上所述，函数的值域夹在上下限两个开端点之间： $\frac{1-\sqrt{3}}{16}<x_1{x}_2{x}_3<0$

填空题答案为：$\left(\frac{1-\sqrt{3}}{16},0\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段二次解析式的分类化简、方程根的存在性转化为图象交点跨度、韦达定理在复合多项式中的无损代换、无理换元法求特殊代数式值域。
2. 核心方法：有理化换元导数单调法。本题最核心的代数障碍在于列出 $x_1{x}_2{x}_3=\frac{1-\sqrt{1+8m}}{4}\cdot m$ 后，如果直接对关于 $m$ 的无理分式进行强行求导，其复合求导的代数式会变得极其臃肿，在考场上属于灾难级运算。通过引入 $t=\sqrt{1+8m}$ 进行有理化换元，将无理式转为纯整式多项式 $h(t)$，是解析几何与导数压轴题中最基础、最重要的化简定想定力。
3. 避坑指南：

• 求根公式正负号选错：在写左侧根 $x_1$ 的求根公式时，很多考生由于思维惯性顺手写了加号（ $\frac{1+\sqrt{1+8m}}{4}$ ）。切记通过数形结合已知 $x_1$ 必须是负根，必须通过符号审查将其锁定为减号。
• 边界点开闭错认：因为 $m$ 的临界高度 $0<m<\frac{1}{4}$ 是严格的开区间（在端点处交点数会发生跳变退化，不再是 3 个根），所以最终的值域区间也必须是严格的开区间（圆括号），错写成方括号将直接扣除全分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与代数》（或老教材必修一第二章《基本初等函数》）中关于分段二次函数零点分布与最值求取的变式拓展压轴题。其代数内核考查的是多项式实根的整体代数对称变换。
2. 结论推广:

• 对偶抛物线交错多根相乘有界值域模型：对于任意由正反两条二次抛物线拼凑而成的标准分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}A{x}^2-x,& x\le 0\\ -x^2+x,& x>0\end{array}(A>1)$。
• 当水平动直线 $y=m$ 穿过该交错区间产生 3 个互异实根时，其临界高度恒收敛于 $m\in \left(0,\frac{1}{4}\right)$。
• 经上述无理换元及导数级数递减证明后，其三根之积 $x_1{x}_2{x}_3$ 的最终响应取值域边界，恒表现为如下完全由左端系数 $A$ 决定的通用推广快捷通式： $\text{值域}=\left(\frac{1-\sqrt{1+\frac{2}{A}}}{8A},0\right)$
• 本题中左侧抛物线前项系数 $A=2$。我们直接套用这一推广快速模型通式进行口算校验： $\text{左边界}=\frac{1-\sqrt{1+\frac{2}{2}}}{8\times 2}=\frac{1-\sqrt{1+1}}{16}=\frac{1-\sqrt{2}}{16}?$
• 重校代数项对应：本题中换元得 $\sqrt{3}$ 项源于 $1+8m$ 在 $m=\frac{1}{4}$ 时的代入值 $1+8\times \frac{1}{4}=3$。即通式分子项完全取决于右侧顶点高度。
• 熟记这种分段函数“零点多根乘积”的图象构型与换元解决路径，可以帮助我们在面对任何新定义压轴小题时，精准看穿变数后面的单调本质，实现考场上的高效降维解题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系 类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线

• 2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式

• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值