2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质，以及函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2$，$g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8$. 设 $H_1(x)=\max \{f(x),g(x)\}$，$H_2(x)=\min \{f(x),g(x)\}$（$\max \{p,q\}$ 表示 $p$，$q$ 中的较大值，$\min \{p,q\}$ 表示 $p$，$q$ 中的较小值）. 记 $H_1(x)$ 的最小值为 $A$，$H_2(x)$ 的最大值为 $B$，则 $A-B=$()

A. $16$　　　　B. $-16$　　　　C. $a^2-2a-16$　　　　D. $a^2+2a-16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)-g(x)=2\left[(x-a{)}^2-4\right]$，交点 $x=a\pm 2$。
2. $x<a-2$ 或 $x>a+2$ 时 $f>g$；$a-2<x<a+2$ 时 $g>f$。
3. $H_1$ 最小：$f(a+2)=-4a-4=A$（$f$ 顶点恰在 $a+2$）。
4. $H_2$ 最大：$g(a-2)=-4a+12=B$（$g$ 顶点恰在 $a-2$）。
5. $A-B=-16$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

作差定交点： $f(x)-g(x)=2x^2-4ax+2a^2-8=2\left[(x-a{)}^2-4\right]=2(x-a-2)(x-a+2).$ 故 $f>g$ 当 $x<a-2$ 或 $x>a+2$；$f<g$ 当 $a-2<x<a+2$（交点处 $f=g$）。 求 $A$（上包络 $H_1$ 的最小值）：$x⩽a-2$ 段 $H_1=f$（开口向上，顶点 $x=a+2$，此段 $f$ 递减）→ 段内最小为 $f(a-2)=-4a+12$；中间段 $H_1=g$（开口向下，顶点 $x=a-2$，此段递减）→ 最小为 $g(a+2)=-4a-4$；$x⩾a+2$ 段 $H_1=f$ 递增 → 最小 $f(a+2)=-4a-4$。 故 $A=\min \{-4a+12,-4a-4\}=-4a-4$。 求 $B$（下包络 $H_2$ 的最大值）：对称分析——$x⩽a-2$ 段 $H_2=g$ 递增 → 最大 $g(a-2)=-4a+12$；中间段 $H_2=f$ 递减 → 最大 $f(a-2)=-4a+12$；$x⩾a+2$ 段 $H_2=g$ 递减 → 最大 $g(a+2)=-4a-4$。 故 $B=-4a+12$。 $A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16.$ 选 B（按原卷选项顺序，值为 $-16$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：max/min 型新定义函数

核心方法：$f-g=2\left[(x-a{)}^2-4\right]$，交点 $x=a\pm 2$；$H_1$ 的最小值 $A=f(a+2)=-4a-4$，$H_2$ 的最大值 $B=g(a-2)=-4a+12$ → $A-B=-16$

避坑指南：$H_1$ 取上包络、$H_2$ 取下包络，分界点是两函数交点 $x=a\pm 2$，且 $a+2$ 恰是 $f$ 的顶点横坐标、$a-2$ 恰是 $g$ 的顶点横坐标——$A$、$B$ 不在同一点取得，画上/下包络草图对照，别把两个最值塞进同一个函数里算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：max/min 新定义函数（二次函数上/下包络）。

结论推广：作差定交点；分段取包络。

方法推广：算 $f-g$ 零点 → 判大小分段 → 各段顶点值比较 → 求 $A-B$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-安徽卷文-14 填-绝对值函数
• 2013-新课标I卷文-12 单-分段函数恒成立