2012-辽宁卷文-22 解-圆的切线与相似

本题导读

本题考查弦切角定理。核心在于相似三角形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，$\odot O$ 和 $\odot O^{\prime }$ 相交于 $A$，$B$ 两点，过 $A$ 作两圆的切线分别交两圆于 $C$，$D$ 两点，连接 $DB$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$. 证明：

(1)$AC\cdot BD=AD\cdot AB$；

(2)$AC=AE$.

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🔍【思路分析】

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（1）$\angle DAB=\angle ACB$（弦切角），$\angle CAB=\angle ADB$，故 $△ACB\sim △DAB$，得 $AC\cdot BD=AD\cdot AB$；（2）$\angle ACE=\angle ABE=\angle DBA=\angle CBA=\angle AEC$，故 $AC=AE$。

✅【答案】

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(1)$AC\cdot BD=AD\cdot AB$；(2)$AC=AE$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $AD$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，$AB$ 为 $\odot O$ 的弦，由弦切角定理得

$\angle DAB=\angle ACB$。①

由 $AC$ 与 $\odot O^{\prime }$ 相切于点 $A$，$AB$ 为 $\odot O^{\prime }$ 的弦，同理得

$\angle CAB=\angle ADB$。②

由①②，$△ACB\sim △DAB$，所以 $\frac{AC}{DA}=\frac{AB}{DB}$，

即 $AC\cdot BD=AD\cdot AB$。

（2）由（1）中 $△ACB\sim △DAB$（对应顶点 $A\leftrightarrow D$，$C\leftrightarrow A$，$B\leftrightarrow B$），得

$\angle DBA=\angle CBA$。③

因为 $A$，$B$，$C$，$E$ 四点都在 $\odot O$ 上，由同弧上的圆周角相等：

$\angle AEC=\angle ABC$（同对弧 $AC$），④

$\angle ACE=\angle ABE$（同对弧 $AE$）。⑤

又 $D$，$B$，$E$ 三点共线（$DB$ 延长交 $\odot O$ 于 $E$），故 $\angle ABE=\angle ABD$。⑥

由③④⑤⑥得 $\angle AEC=\angle ABC=\angle ABE=\angle ACE$，即 $\angle AEC=\angle ACE$。

所以在 $△ACE$ 中 $AC=AE$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦切角定理；相似三角形对应边成比例；同弧（同弦）所对的圆周角相等

核心方法：（1）“两圆各出一个弦切角”凑齐相似的两个角；（2）把目标等腰的两组底角都转写到同一个顶点 $B$ 处比较

避坑指南：两条切线的归属别搞混：$AD$ 切的是 $\odot O$（与 $C$ 配对出 $\angle ACB$），$AC$ 切的是 $\odot O^{\prime }$（与 $D$ 配对出 $\angle ADB$）；写相似时对应顶点顺序要一致，否则（2）中 $\angle DBA=\angle CBA$ 这一步取不出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两圆相交与公切线结合的证明题，与 2013 年辽宁卷理第 22 题、2014 年新课标Ⅱ文第 22 题、2012 年新课标Ⅰ文第 22 题同族。

结论推广：弦切角定理：切线与弦的夹角等于弦所对的圆周角；两圆相交、过公共点分别作两圆切线时，“每个圆出一条弦切角”是构造相似三角形的标准组合。

方法推广：圆的综合证明优先”角”路线：弦切角、圆周角把所有角集中到一两个顶点，再下相似或等腰的结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-22 解-弦切角定理
• 2014-新课标II卷文-22 解-圆幂定理
• 2012-新课标卷文-22 解-圆与相似三角形