2011-广东卷理-15 填-圆幂定理

本题导读

本题考查弦切角定理，以及相似三角形的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 如图，过圆 $O$ 外一点 $P$ 分别作圆的切线和割线交圆于 $A,B$，且 $PB=7$，$C$ 是圆上一点，使得 $BC=5$，$\angle BAC=\angle APB$，则 $AB=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察 $\angle APB$ 与 $\angle BAC$，利用弦切角定理找到相等的圆周角与弦切角。
2. 根据已知角与公共角/同弧圆周角寻找相似三角形对。
3. 建立比例关系求解线段 $AB$。

✅【答案】

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$\sqrt{35}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $PA$ 为圆 $O$ 的切线，弦为 $AB$， 由弦切角定理可知，$\angle PAB=\angle BCA$。 在 $△PAB$ 与 $△ACB$ 中： $\angle PAB=\angle ACB$（弦切角等于所夹弧对的圆周角）， $\angle APB=\angle BAC$（已知条件）。 因此，$△PAB\sim △ACB$。 由相似三角形对应边成比例得： $\frac{AB}{CB}=\frac{PB}{AB}$ 即： $A{B}^2=PB\times BC$ 代入已知数据 $PB=7$，$BC=5$ 得： $A{B}^2=7\times 5=35⟹AB=\sqrt{35}$ 故答案为 $\sqrt{35}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：选修4-1《几何证明选讲》中的弦切角定理和三角形相似判定。
• 核心方法：挖掘隐含的角相等关系（弦切角 $\angle PAB=\angle ACB$），构造两角对应相等的相似三角形。
• 避坑指南：切勿与切割线定理 $P{A}^2=PB\cdot PD$ 混淆，注意本题成比例对应线段是 $AB$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于欧几里得《几何原本》第三卷中弦切角定理及比例圆幂模型。
• 结论推广：在切线三角形与内接三角形的共边构型中，若两角对应相等，则公用弦长的平方等于割线段与所对对边长的乘积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-15 填-圆幂定理求线段
• 2012-辽宁卷文-22 解-圆的切线与相似
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理