2012-辽宁卷理-03 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模长与自乘的关系。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知两个非零向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$, 则下面结论正确的是 ()

A. $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$　　　B. $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$　　　C. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$　　　D. $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

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1. 方法一：代数平方法（通法）

• 看到向量模长的等式，优先考虑两边同时平方，利用 $|\mathbf{V}{|}^2={\mathbf{V}}^2$ 转化为向量的数量积运算。
• 展开并化简等式，消去相同项 $|\mathbf{a}{|}^2$ 和 $|\mathbf{b}{|}^2$。
• 得到 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，根据非零向量数量积为零的性质判定位置关系。

2. 方法二：几何意义法（快捷法）

• 引入向量加减法的几何模型：以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边构造平行四边形。
• 向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 分别对应该平行四边形的两条对角线。
• 模长相等说明该平行四边形的两条对角线长度相等，依据平面几何定理，对角线相等的平行四边形必为矩形，从而直接得出邻边垂直。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数法

因为 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$，且两端均为非负数， 所以 两边同时平方，等式依然成立： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$

利用向量模长平方等于自身数量积的性质展开两端： $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2$ ${\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2={\mathbf{a}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2$

由于 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2$, ${\mathbf{b}}^2=|\mathbf{b}{|}^2$，两边同时消去相同的项 $|\mathbf{a}{|}^2$ 和 $|\mathbf{b}{|}^2$： $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 移项合并同类项得： $4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

因为 题目明确限定 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为两个非零向量， 所以 根据数量积的几何定义，由 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 可直接推导得出： $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$

故选 B#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：向量自乘与模长的转化（ ${\mathbf{V}}^2=|\mathbf{V}{|}^2$ ）、数量积为零与垂直的等价性。
2. 核心方法：两端平方因式展开法。
3. 避坑指南：

• 误将向量的模长等式直接去掉模长号，错误地得出 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$（此式变形可得 $\mathbf{b}=0$，与题干“非零向量”矛盾），从而错选 (D)。
• 展开时注意向量积是有向代数运算，核心项是 $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，不要丢掉向量的点乘号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于向量数量积运算及几何意义的课后高频核心基础练习题。
2. 结论推广：在平面向量中，以下三个几何命题满足完全等价的矩形对应模型：

• 向量代数特征： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$
• 数量积特征： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$
• 空间几何特征：以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的四边形是矩形（即 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$） 牢记这一对称结构，可以在后续遇到诸如“由 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 求向量夹角 $\theta$”这类变式题时，无需任何计算直接锁定 $\theta =90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念 类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积

• 2023-新高考I卷-03 单-数量积

• 2000-新课标理-04 单-平面向量的数量积性质