本题导读
本题考查几何概型，以及一元二次不等式的解法。
📌【题干】
Question
（2012年辽宁卷(理)） 在长为 的线段 上任取一点 . 现作一矩形，邻边长分别等于线段 的长，则该矩形面积小于 的概率为 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 构建数学模型：设线段 的长度为 。因为整个线段 ，所以剩余线段 的长度可以表示为 。由于点 只能在线段内部移动，自变量的基本测度范围（全体基本事件域）为 。
- 列出控制不等式：根据矩形面积公式，面积 。题目要求面积小于 ，由此建立关于 的一元二次不等式： 。
- 求解目标测度区间：对不等式展开、移项、因式分解，求出满足要求的核心区间。
- 计算概率：应用几何概型公式 ，完成计算。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
设线段 的长度为 ， 因为 线段 总长为 ，且点 处于线段 上， 所以 线段 的长度为 。 且自变量 的所有可能取值范围构成的全集区域为： ，总长度为 。
根据题意，矩形的面积为 。 为了使该矩形的面积小于 ，建立不等式：
展开多项式并移项整理：
对十字相乘进行因式分解：
解得该一元二次不等式的解集为：
结合点 在线段上的实际物理范围约束 ，取交集可得满足面积要求的合法目标测度区域为：
计算上述满足条件（构成事件A）的线段总长度：
根据一维长度型几何概型的计算公式，所求事件的概率为：
故选 C#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]
- 核心考点：长度型几何概型的基本结构公式、利用一元二次不等式锁定边界、区间的并集测度计算。
- 核心方法：代数方程法。
- 避坑指南：
- 极易在解不等式 时将方向看反，误认为解集在两根之间（即错算为 ）。如果错算为此区间，计算出的长度为 ，最终概率会误算出 ，从而错选 (B)。牢记“大于取两边，小于取中间”的口诀。
- 几何概型计算时注意上下限减法的严谨性，确保测度不重复。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材必修三第三章《概率》中关于几何概型计算的课后常规中档经典必做题。
- 结论推广：本题可推广至更一般的均值极值概率模型：在长为 的线段上任取一点将线段分为两部分，两部分围成的矩形面积小于定值 （其中 ，即小于最大面积上限）的概率。 设方程 的两根为 。 根据根与系数的关系及求根公式，中间不满足要求的区间长度（两根之差）为： 因此，满足要求（在两端）的目标区间总长度为 。 故通项概率公式可以 general 化表达为： 针对本题，直接代入 ： 。掌握此抽象一般化模型，可以在任何类似题型中实现无视二次因式分解直接套公式快速得出。
🔗【关联脉络】
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