2012-辽宁卷理-24 解-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分段讨论法、三角法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知 $f(x)=|ax+1|(a\in \mathbf{R})$，不等式 $f(x)\le 3$ 的解集为 $\{x|-2\le x\le 1\}$.

(1)求 $a$ 的值；

(2)若 $\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|\le k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问利用解集边界代入（边界值法）：

• 不等式 $|ax+1|\le 3$ 的解集为 $[-2,1]$，根据连续函数的性质，解集的端点值 $x=-2$ 和 $x=1$ 必然是对应方程 $|ax+1|=3$ 的根。
• 将 $x=1$ 或 $x=-2$ 代入方程，结合解集区间的方向进行判定，即可求出唯一的常数 $a$。

2. 第二问利用绝对值三角不等式求最值（整体放缩法）：

• 代入解析式：将第一问求出的 $a=2$ 代入目标不等式左端，得到 $\left||2x+1|-2\left|2\cdot \frac{x}{2}+1\right|\right|=\left||2x+1|-|2x+2|\right|$。
• 转化为求最大值：不等式对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，等价于 $k\ge {\left||2x+1|-|2x+2|\right|}_{\text{max}}$。
• 绝对值放缩：根据绝对值三角不等式的基础性质 $||A|-|B||\le |A-B|$，将内层两项整体作差，消去自变量 $x$，即可直接锁定最大值，进而求出 $k$ 的取值范围。

✅【答案】

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(1) $a=2$

(2) $[1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $a$ 的值

因为 不等式 $f(x)\le 3⟹|ax+1|\le 3$ 的解集为 $\{x|-2\le x\le 1\}$， 所以 根据绝对值不等式的性质，原不等式可去绝对值展开为： $-3\le ax+1\le 3⟹-4\le ax\le 2$

由对应边界相等的原则可知， $x=-2$ 和 $x=1$ 是方程 $|ax+1|=3$ 的两个根。

• 当 $x=1$ 时，代入边界等式可得： $a\cdot 1=2⟹a=2$。
• 当 $x=-2$ 时，代入边界等式可得： $a\cdot (-2)=-4⟹a=2$。

且当 $a=2$ 时，不等式为 $-4\le 2x\le 2⟹-2\le x\le 1$，其解集与题设完全吻合。 所以，参数 $a$ 的值为： $a=2$

（2）若 $\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|\le k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围

将 $a=2$ 代入原函数可得： $f(x)=|2x+1|$。 将解析式代入目标不等式的左端，进行化简变形： $\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|=\left||2x+1|-2\left|2\times \frac{x}{2}+1\right|\right|=\left||2x+1|-2|x+1|\right|=\left||2x+1|-|2x+2|\right|$

要使 $\left||2x+1|-|2x+2|\right|\le k$ 对任意的 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立， 只需要参数 $k$ 大于或等于该代数式的全局最大值，即： $k\ge {\left||2x+1|-|2x+2|\right|}_{\text{max}}$

根据平面几何与绝对值三角不等式的核心性质，对任意实数 $A,B$ 恒满足： $||A|-|B||\le |A-B|$

令 $A=2x+1,B=2x+2$ 整体套用上述放缩模型： $\left||2x+1|-|2x+2|\right|\le |(2x+1)-(2x+2)|$

展开括号进行内部消元合并： $|(2x+1)-(2x+2)|=|2x+1-2x-2|=|-1|=1$

由此可知，无论 $x$ 取何值，该整体绝对值差式的值绝不可能超越 $1$（当 $x$ 极其大时即可取到等号边界）。 故该代数式的最大值为 $1$。 所以，要使不等式恒成立，参数 $k$ 的取值范围应当为： $k\ge 1(\text{或写为 }[1,+\infty ))$

故答案为： （1） $a=2$； （2） $k$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式去邻域边界的对应转化、绝对值三角不等式在恒成立求最值中的放缩应用。
2. 核心方法：绝对值三角不等式放缩法。在第二问中，很多同学习惯使用“零点分段法”把 $x$ 分为 $x<-1$、 $-1\le x<-\frac{1}{2}$、 $x\ge -\frac{1}{2}$ 三段画出分段函数图象来求最值。虽然方法可行，但计算量极大且容易分类出错。直接利用三角不等式定理进行整体打包相减，可以直接在 无视自变量消元出数，是极重要的“简化计算”技巧。
3. 避坑指南：

• 第一问求出 $a$ 的值后，务必将原解集区间方向进行回代校验。因为 $|ax+1|\le 3⟹-4\le ax\le 2$，如果是 $a=-2$，则不等式会反向变为 $-1\le x\le 2$，与题干矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-5《不等式选讲》中作为全卷压轴位置的绝对值不等式综合解答选做题。
2. 结论推广：本题第二问的代数内核是经典的绝对值双双平移有界模型。 一般化推广：对于形如 $F(x)=||\omega x+{\varphi }_1|-|\omega x+{\varphi }_2||$ 的函数结构，由于两分量的自变量变率系数 $\omega$ 严格相等，其函数图形在几何拓扑上呈现出标准的“之”字形阶梯跃迁形态。 该函数的最大值恒与自变量 $x$ 无关，其最大上限边界仅由两内部常数项的差值绝对值所锁定，通项公式为： $F(x{)}_{\text{max}}=|{\varphi }_1-{\varphi }_2|$ 在本题中， $\omega =2,{\varphi }_1=1,{\varphi }_2=2$，直接套用推广模型，最大值即为 $|1-2|=1$。牢记这一特征多项式结构，可以在任何绝对值恒成立大题中实现快速得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

• 03.01 不等式解法体系 类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式

• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式

• 2021-乙卷文-23 解-不等式选讲