2012-重庆卷文-06 单-向量垂直与模

本题导读

本题考查向量垂直的坐标条件，以及向量模的坐标计算。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，向量 $\mathbf{a}=(x,1)$，$\mathbf{b}=(1,-2)$，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $\sqrt{10}$　　　　　　　C. $2\sqrt{5}$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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垂直 $\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$；则 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3,-1)$，模为 $\sqrt{10}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，即 $x\times 1+1\times (-2)=0$，解得 $x=2$。

所以 $\mathbf{a}=(2,1)$，$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3,-1)$。

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件（数量积为零）；模的坐标公式

核心方法：垂直条件先定参数，再做坐标加法，最后套模公式，三步各司其职

避坑指南：（C）$2\sqrt{5}$ 是把 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 误算成 $(2,-1)$ 或 $(4,-2)$ 的结果；求模前先把坐标核对一遍再开方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直与求模题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 15 题、2012 年福建卷文第 3 题同族。

结论推广：若 $\mathbf{a}=(x_1,y_1)$，$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$；垂直时中间项消失，常可心算。

方法推广：向量坐标题按”条件定参 → 目标向量 → 目标量”三步走，每步写清用的公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2012-福建卷文-03 单-向量垂直充要条件
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参