2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $\overrightarrow{OA}=(-1,t)$，$\overrightarrow{OB}=(2,2)$，若 $\angle ABO=90^{\circ }$，则实数 $t$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(-3,t-2)$；$\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=(-2,-2)$。
2. $\angle ABO=90^{\circ }⟺\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BO}=0$：$6-2(t-2)=0$ → $t=5$。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\angle ABO=90^{\circ }$，得 $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BO}$。 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(-1-2,t-2)=(-3,t-2),$ $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OO}-\overrightarrow{OB}=(-2,-2).$ 由垂直的充要条件： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BO}=(-3)\times (-2)+(t-2)\times (-2)=6-2t+4=0,$ 即 $10-2t=0$，解得 $t=5.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直求参数

核心方法：$\angle ABO=90^{\circ }$ 即 $BA\perp BO$：$\overrightarrow{BA}=(-3,t-2)$，$\overrightarrow{BO}=(-2,-2)$，数量积 $10-2t=0$ → $t=5$

避坑指南：角度顶点在 $B$，垂直的是 $\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BO}$——向量起点统一到 $B$：$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}$；顺手用 $\overrightarrow{AO}$ 会得到不同方程，是常见失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与垂直（全国卷高频填空）。

结论推广：$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}⟺\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$；$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$。

方法推广：向量夹角题两步：把所有向量起点统一到角的顶点 → 数量积为零列方程解参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积