2012-重庆卷理-07 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)）

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上增函数 ”是“ $f(x)$ 为 $[3,4]$ 上减函数 ”的()

A. 既不充分也不必要条件　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　　　D. 充要条件

🔍【思路分析】

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1. 宏观理清命题推导关系：记命题 $p$: $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数；命题 $q$: $f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数。需分别论证充分性（$p⟹q$ 是否成立）与必要性（$q⟹p$ 是否成立）。

2. 充分性推导（由 $[0,1]$ 映射到 $[3,4]$）：

• 依据偶函数关于 $y$ 轴对称的几何特征，若 $f(x)$ 在右侧 $[0,1]$ 上单调递增，则其在左侧对称区间 $[-1,0]$ 上必然单调递减。

• 依据周期 $T=2$ 的性质，函数在任何区间上的单调性，向右平移 2 的整数倍后完全保持一致。将区间 $[-1,0]$ 整体向右平移 2 个周期（即平移 4 个单位），其对应的全新区间为 $[-1+4,0+4]=[3,4]$。因此在该区间上函数同样保持单调递减。充分性成立。

3. 必要性反推（由 $[3,4]$ 映射到 $[0,1]$）：

• 依据周期 $T=2$ 的性质，将已知区间 $[3,4]$ 整体向左平移 1 个周期（即减少 2 个单位），可无损还原到区间 $[3-2,4-2]=[1,2]$。即函数在 $[1,2]$ 上单调递减。

• 再根据偶函数关于 $x=0$ 对称，或者周期函数在特定对称轴处的波峰波谷特征，利用 $f(x)=f(2-x)$ 关系，可将 $[1,2]$ 上的单调性无缝映射回 $[0,1]$ 上。由于镜像反转，递减变为递增。必要性成立。

4. 得出结论：双向推导皆成立，两命题完全等价，属于充要条件。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：充分性论证（若 $p⟹q$）

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，根据偶函数的图象关于 $y$ 轴（直线 $x=0$）严格对称的几何特征：

若函数在正半轴的区间 $[0,1]$ 上是增函数，则在其关于原点对称的负半轴区间 $[-1,0]$ 上，单调性必然发生颠倒，即 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上是减函数。

又因为函数 $f(x)$ 的周期为 $T=2$，根据周期函数的单调性平移不变性定则：

函数在任意区间上的单调性，平移周期的整数倍（$2k,k\in \mathbb{Z}$）后保持完全相同。

将减函数区间 $[-1,0]$ 整体向右平移 2 个周期（即加上 $2\times 2=4$）：

新区间为：

$[-1+4,0+4]=[3,4]$

由此可知， $f(x)$ 在区间 $[3,4]$ 上必然也是减函数。

也就是说，由“$f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数”可以完美推导得出“$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数”，即充分性成立。

第二步：必要性论证（若 $q⟹p$）

反过来，若已知 $f(x)$ 在区间 $[3,4]$ 上是减函数。

同样利用周期为 2 的性质，将该区间整体向左平移 1 个周期（即减去 2）：

新区间为：

$[3-2,4-2]=[1,2]$

此时， $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上是减函数。

再利用 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数这一特征。因为周期 $T=2$，偶函数还隐含了关于半周期点（直线 $x=1$）也是其对称轴的性质。

我们可以利用函数自变量的对应转化：

设任意 $x_1,x_2\in [0,1]$，且 $x_1<x_2$。

则对应的对称点 $2-x_1,2-x_2\in [1,2]$。

由于 $x_1<x_2⟹-x_1>-x_2⟹2-x_1>2-x_2$。

因为已证得 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上是减函数，大自变量对应小函数值：

$f(2-x_1)<f(2-x_2)$

根据偶函数与周期性复合满足的对称式 $f(2-x)=f(-x)=f(x)$，代入上式变形：

$f(x_1)<f(x_2)$

在一开始设定的 $[0,1]$ 区间内，自变量变大，对应的函数值也变大，说明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是增函数。

也就是说，由“$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数”也可以严谨地反向推导得出“$f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数”，即必要性成立。

综上两步所述，两命题互为充要条件。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数对称单调性互换规律（正增负减）、周期函数单调性一维数轴平移、充要条件的双向判定。

2. 核心方法：特征函数代入法（图像辅助法）。对于抽象函数的性质判定选择题，在考场上可以通过构造一个完全符合所有已知条件的具体特征函数图象来辅助判定。例如本题可直接联想标准余弦波或三角尖峰波（如 $f(x)=\cos (\pi x)$ ）的波形图，通过直观观察 $[0,1]$ 与 $[3,4]$ 的走势，能够瞬间判定结果，有效规避抽象代数推导中的逻辑混乱。

3. 避坑指南：

• 边界平移加减法算错：在将 $[-1,0]$ 向右平移 4 个单位时，考生容易粗心算成 $[3,5]$ 或 $[2,4]$。请严格执行双端点同时加减周期的算术操作。

• 对称区间单调性误判：部分考生误认为偶函数在对称区间上单调性相同。切记口诀：“奇同偶反”，即奇函数在对称区间单调性保持相同，偶函数在对称区间单调性必然相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《一元函数的导数及其应用》之前的必修函数性质专篇（现多作为高一函数概念与性质的综合压轴基础训练）。结合了常用逻辑用语，是高考融合考查主干代数基本功的典型代表。

2. 结论推广:

• 偶周期函数单调性区间平移通用模型：若 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且满足周期为 $T$。

• 若 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{T}{2}]$ 上的单调性为 $\text{X}$ （ $\text{X}$ 可代表“增”或“减”）。

• 则该函数在任意高阶远端区间 $[kT-\frac{T}{2},kT]$ （其中 $k\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ ）上的单调性必然与其相反（即为非 $\text{X}$ ）。

• 且这两者之间的单调性隶属关系在全实数域内恒为充要条件。

• 本题中 $T=2,k=2$，对应区间即为 $[2\times 2-1,2\times 2]=[3,4]$。直接套用此推广通用模型，可直接判定在 $[3,4]$ 上的单调性与 $[0,1]$ 完全相反（增变减），且结论恒为充要。掌握该模型，可实现对任何周期对称函数远端区间单调性问题的降维瞬杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移

• 2009-大纲卷I理-11 单-函数