2012-重庆卷理-09 单-四面体几何

本题导读

本题考查四面体与棱锥的空间几何特征，以及空间两点间距离及射影定理。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 设四面体的六条棱的长分别为 $1,1,1,1,\sqrt{2}$ 和 $a$，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(0,\sqrt{2})$　　　B. $(0,\sqrt{3})$　　　C. $(1,\sqrt{2})$　　　D. $(1,\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

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1. 精确还原四面体骨架特征：

• 设四面体为 $P-ABC$。已知其中四条棱长为 1，一条棱长为 $\sqrt{2}$，一条为 $a$。
• 题目给定关键拓扑约束：“长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面”。
• 设长为 $\sqrt{2}$ 的棱为 $PC$，则与之异面的棱必为底边的 $AB$，即 $AB=a$。
• 此时，剩余的四条侧棱构成两两相交的骨架，其长度全部相等： $PA=PB=CA=CB=1$。

2. 定性分析两个等腰三角形的相对运动：

• 观察侧面： $△PAB$ 与 $△CAB$ 是以 $AB$ 为公共底边的两个全等的等腰三角形。
• 观察轴向： $△PCA$ 与 $△PCB$ 是以 $PC=\sqrt{2}$ 为公共底边的全等三角形，且腰长 $PA=CA=1,PB=CB=1$。

3. 计算空间中的固定基准量：

• 取公共异面轴线的中点。由于 $PA=CA=1$ 且 $PC=\sqrt{2}$，满足 $1^2+1^2=(\sqrt{2}{)}^2$，说明 $△PAC$ 和 $△PBC$ 是以 $PC$ 为斜边的直角三角形（$\angle PAC=\angle PBC=90^{\circ }$）。
• 设 $PC$ 的中点为 $E$，连接 $AE$。由于 $△PAC$ 是等腰直角三角形，斜边中线 $AE=\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{2}}{2}$。同理， $BE=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

4. 利用极限折叠思想判定边界：

• 动棱 $a=AB$ 的长度由 $△AEB$ 的空间折叠张角 $\angle AEB$ 决定。根据三角形边长不确定性原理： $0<AB<AE+BE$。
• 当两个直角三角形 $△PAC$ 与 $△PBC$ 绕着斜边 $PC$ 动态旋转折叠时，当它们重合铺平在一个平面上时， $AB$ 达到最大极限边界。代入数值计算即可确定 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱互相异面。 为了清晰描述，设长为 $\sqrt{2}$ 的棱为 $PC$，与之异面的棱为 $AB$，则： $PC=\sqrt{2},AB=a$ 四面体的其余四条棱长均相等，即： $PA=PB=CA=CB=1$

第一步：分析侧面的特殊几何形状 在 $△PAC$ 中，由于边长满足： $PA=1,CA=1,PC=\sqrt{2}$ 根据勾股定理的逆定理，因为 $1^2+1^2=(\sqrt{2}{)}^2$，即 $P{A}^2+C{A}^2=P{C}^2$， 所以， $△PAC$ 是以 $\angle PAC=90^{\circ }$ 为直角的等腰直角三角形。 同理，在 $△PBC$ 中，因为 $PB=1,CB=1,PC=\sqrt{2}$，它也是以 $\angle PBC=90^{\circ }$ 为直角的等腰直角三角形。

第二步：求特征射影线段的长度 取斜边 $PC$ 的中点，记为 $E$，连接 $AE$ 和 $BE$。 根据等腰直角三角形斜边中线的几何性质（斜边中线等于斜边的一半）： $AE=\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $BE=\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{2}}{2}$

第三步：利用空间三角形的张角极限折叠求范围 在空间几何体中，我们可以将该四面体看作是由等腰直角三角形 $△PAC$ 与 $△PBC$ 以公共斜边 $PC$ 为轴进行动态旋转折叠而成的。 在旋转过程中，动棱 $AB=a$ 的长度，实质上就是动点 $A$ 与动点 $B$ 在空间中的距离。 在 $△AEB$ 中，已知两边长固定为 $AE=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $BE=\frac{\sqrt{2}}{2}$，第三边 $AB=a$ 的长度随着二面角 $\angle AEB$ 的张开或闭合而发生连续动态变动：

1. 下确界极限（两面完全叠合）： 当 $△PAC$ 与 $△PBC$ 顺着同一个方向完全重合折叠在一起时，点 $A$ 与点 $B$ 完美重合，此时距离达到最小极限： $a\to 0$ 由于要构成完备的空间四面体（不能退化为平面扁平图形），两面不能真正在空间中完全重叠，故必有 $a>0$。

2. 上确界极限（两面完全展平）： 当 $△PAC$ 与 $△PBC$ 围绕 $PC$ 轴向两侧完全拉平，使四个顶点 $P,A,C,B$ 处于同一个二维平面内，且 $A,B$ 分居 $PC$ 两侧时，张角 $\angle AEB=180^{\circ }$，此时线段 $AB$ 达到最大值（即 $A,E,B$ 三点共线）： $a<AE+BE$ 代入求得的长度数值： $a<\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ 由于要保持三维空间多面体的立体结构，图形不能完全展平退化为二维平面，故必有 $a<\sqrt{2}$。

综上所述，动棱 $a$ 的取值范围严格限制在开区间： $0<a<\sqrt{2}⟹a\in (0,\sqrt{2})$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：勾股定理逆定理识别特殊空间面、等腰直角三角形斜边中线性质、利用空间动点旋转折叠思想求解第三边的动态存在性范围。
2. 核心方法：射影极限折叠法（数形结合思维）。处理四面体中单条动棱取值范围的压轴选择题，将图形沿某条固定轴线拆开，转化为两个独立三角形的旋转，利用两点间距离的“最大展平”与“最小叠合”极限状态直接锁定开区间端点，是立体几何中最具观赏性的快捷通法。
3. 避坑指南：

• 无法建立正确的棱长拓扑对应：很多考生读完题后，不知道四条长度为 1 的棱在四面体中是如何交汇分布的。切记先利用“异面”条件锁死 $PC$ 与 $AB$，剩下的四条通道就必然全部是 1。
• 盲目硬套平面三角形三边关系：部分考生直接在 $△PAB$ 或 $△CAB$ 中套用 $|PA-PB|<AB<PA+PB⟹0<a<2$，从而错选或无法对齐选项。切记 $A,B$ 的运动轨迹是空间圆弧，必须通过垂向中线 $AE,BE$ 所在的三角形才能准确度量空间距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第一章《空间向量与立体几何》中关于空间多面体结构特征与非垂直折叠动力学的拓展习题。属于高考立体几何中考查空间想象能力与动态极限思维的超高难度选择题。
2. 结论推广:

• 完全对称等腰四面体动态动棱通用模型：若一四面体中有四条棱长均为 $L$，第五条棱长为 $M$。第六条动棱 $a$ 与 $M$ 互相异面。
• 根据轴对称结构，由于两侧面全等，动棱 $a$ 对应的最大展平极限高度，恒等于两侧面在公共轴线 $M$ 上的特征射影垂线长度之和。
• 经平面几何勾股定理及两倍中线公式通分化简后，可推导得出求解动棱 $a$ 边界范围的完全一般化通用推广公式： $0<a<2\sqrt{L^2-{\left(\frac{M}{2}\right)}^2}=\sqrt{4L^2-M^2}$
• 本题中定长侧棱 $L=1$，异面特征脊梁棱 $M=\sqrt{2}$。我们直接套用此推广通用快捷公式进行计算： $\text{右边界}=\sqrt{4\times 1^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$
• 从而直接得出 $a\in (0,\sqrt{2})$。通过熟记这一空间折叠射影模型公式，在面对任何同类对称四面体求未知异面动棱取值范围的问题时，均可实现免去所有空间立体作图与旋转论证的 降维瞬杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质 类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-09 单-三角形形状判断

• 1989-全国卷理-08 单-球的截面

• 2008-上海卷文-13 单-线面垂直充要条件