2012-陕西卷文-14 填-抛物线拱桥应用

本题导读

本题考查抛物线的标准方程，以及实际应用问题。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 如图是抛物线形拱桥，当水面在 $l$ 时，拱顶离水面 $2$ 米，水面宽 $4$ 米，水位下降 $1$ 米后，水面宽$\underline{}$米.

!

🔍【思路分析】

破题导航

以水面为 $x$ 轴、拱顶竖直线为 $y$ 轴，设 $y=2-k{x}^2$，过 $(2,0)$ 得 $k=\frac{1}{2}$；水位下降后 $y=-1$，$x^2=6$，水面宽 $2\sqrt{6}$ 米。

✅【答案】

点击查看答案

$2\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

以水面 $l$ 所在直线为 $x$ 轴、拱顶所在的竖直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，则拱顶坐标为 $(0,2)$。

设抛物线方程为 $y=2-k{x}^2$（$k>0$）。由水面宽 $4$ 米，抛物线经过点 $(2,0)$ 与 $(-2,0)$，代入得

$0=2-4k$，即 $k=\frac{1}{2}$，故 $y=2-\frac{x^2}{2}$。

水位下降 $1$ 米后，新水面所在直线为 $y=-1$。令 $-1=2-\frac{x^2}{2}$，得 $x^2=6$，$x=\pm \sqrt{6}$。

所以新水面宽为 $2\sqrt{6}$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线标准方程的待定系数法；实际问题的坐标化

核心方法：“建系 → 设方程 → 代已知点定系数 → 令目标高度求弦长”四步

避坑指南：建系方式决定方程形式：若以拱顶为原点，则水面在 $y=-2$、方程为 $x^2=-2y$，下降后 $y=-3$，$x^2=6$，结果相同；务必分清”拱顶离水面 $2$ 米”是竖直距离，代入点的坐标时别把 $2$ 与 $-2$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线实际应用题，与 2013 年陕西卷理第 20 题（抛物线定义）的建模思想同族。

结论推广：“水面宽”随深度的变化满足 $w=2\sqrt{-2p{y}_0}$，与 $\sqrt{\text{深度}}$ 成正比：深度从 $2$ 米增到 $3$ 米，宽度从 $4$ 变为 $4\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{6}$。

方法推广：应用题先建坐标系（利用对称性把原点放在拱顶或水面中点），把文字条件翻译成”曲线过点”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义