2012-陕西卷文-15 填-三选一

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及圆幂定理与相似三角形。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题） 若存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1|⩽3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

B.（几何证明选做题） 如图，在圆 $O$ 中，直径 $AB$ 与弦 $CD$ 垂直，垂足为 $E$，$EF\perp DB$，垂足为 $F$，若 $AB=6$，$AE=1$，则 $DF\cdot DB=$ $\underline{}$.

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C.（坐标系与参数方程选做题） 直线 $2\rho \cos \theta =1$ 与圆 $\rho =2\cos \theta$ 相交的弦长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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A：存在 $x$ 使不等式成立 $⟺|a-1|⩽3⟺a\in [-2,4]$；B：$D{E}^2=AE\cdot EB=5$，又在 $\mathrm{Rt}△DEB$ 中 $D{E}^2=DF\cdot DB$，故为 $5$；C：直线 $x=\frac{1}{2}$ 截圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的弦长为 $\sqrt{3}$。

✅【答案】

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A. $[-2,4]$；B. $5$；C. $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

A：对任意实数 $x$，由绝对值三角不等式 $|x-a|+|x-1|⩾|(x-a)-(x-1)|=|a-1|$，且当 $x$ 介于 $a$ 与 $1$ 之间时取等号，即表达式能取到的最小值为 $|a-1|$。

“存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1|⩽3$ 成立”$⟺$ 最小值 $⩽3$，即 $|a-1|⩽3$。

解得 $-2⩽a⩽4$，故 $a$ 的取值范围为 $[-2,4]$。

B：直径 $AB\perp$ 弦 $CD$，由垂径定理 $E$ 为 $CD$ 中点，$CE=DE$。

由相交弦定理：$AE\cdot EB=CE\cdot DE=D{E}^2$。由 $AB=6$，$AE=1$ 得 $EB=5$，故 $D{E}^2=1\times 5=5$。

在 $\mathrm{Rt}△DEB$ 中（$\angle EDB$ 所在三角形以 $EB$ 为斜边——因 $DE\perp AB$），$EF\perp DB$，由射影定理 $D{E}^2=DF\cdot DB$。

所以 $DF\cdot DB=5$。

C：由 $x=\rho \cos \theta$，直线 $2\rho \cos \theta =1$ 化为 $x=\frac{1}{2}$。

圆 $\rho =2\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$：${\rho }^2=2\rho \cos \theta$，即 $x^2+y^2=2x$，配方得 $(x-1{)}^2+y^2=1$，圆心 $(1,0)$，半径 $1$。

圆心到直线 $x=\frac{1}{2}$ 的距离 $d=\frac{1}{2}$，弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值三角不等式与存在性问题；垂径定理、相交弦定理与射影定理；极坐标方程化直角坐标；弦长公式

核心方法：A 把”存在”化为”最小值不大于 $3$“；B 用两次平方关系（相交弦 + 射影）；C 一律先化直角坐标再用 $2\sqrt{r^2-d^2}$

避坑指南：A 是”存在”而非”恒成立”：恒成立要求最大值 $⩽3$，存在只要求最小值 $⩽3$，两者条件差一个绝对值三角不等式的方向；B 中 $D{E}^2=DF\cdot DB$ 是射影定理（斜边上的高），与相交弦定理 $AE\cdot EB=D{E}^2$ 前后呼应，两步都得出 $5$；C 中圆 $\rho =2\cos \theta$ 过极点、圆心在极轴上，乘 $\rho$ 化方程时不要丢掉 $\rho =0$ 的情形（它已含于 $(x-1{)}^2+y^2=1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：陕西卷固定的”三选一”选做题（对应选修 4-5 / 4-1 / 4-4），与 2014 年陕西卷文第 15 题、2013 年陕西卷文第 15 题同族。

结论推广：$|x-a|+|x-b|$ 的最小值为 $|a-b|$（$x$ 取到 $a$、$b$ 之间时取得）；圆中与弦垂直的半径平分弦；极坐标方程 $\rho =2r\cos \theta$ 表示圆心 $(r,0)$、半径 $r$ 的圆。

方法推广：三选一按自己最熟的模块作答：A 模块记”绝对值和的最小值 = 两定点距离”；B 模块记”射影定理三条”；C 模块记”先化直角坐标”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷文-15 填-三选一

• 2013-陕西卷文-15 填-绝对值不等式解集

• 2015-陕西卷文-22 解-圆幂定理