2012-陕西卷理-03 单-充要条件

本题导读

本题考查充要条件的判断与复数的概念，以及纯虚数的定义。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

设 $a,b\in \mathbb{R}$，$i$ 是虚数单位，则"$ab=0$"是”复数 $a+\frac{b}{i}$ 为纯虚数”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数 $a+\frac{b}{i}=a-bi$ 为纯虚数需实部 $a=0$ 且虚部 $-b\ne 0$，即 $a=0$ 且 $b\ne 0$。

2. "$ab=0$"等价于 $a=0$ 或 $b=0$。

3. 判断充分性与必要性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$a+\frac{b}{i}=a-bi$。其为纯虚数 $⟺a=0$ 且 $-b\ne 0⟺a=0$ 且 $b\ne 0$。

条件"$ab=0$"等价于 $a=0$ 或 $b=0$。

由"$ab=0$"推不出”$a=0$ 且 $b\ne 0$“（可能 $b=0$），故不充分。

由”$a=0$ 且 $b\ne 0$“可推出"$ab=0$"，故必要。

所以是必要不充分条件，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件

核心方法：纯虚数的定义

避坑指南：复数的四则运算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于充要条件与复数概念

结论推广：可推广到含参数的充分必要条件判断

方法推广：纯虚数需实部为 $0$ 且虚部不为 $0$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-18 解-复数的代数形式及运算

• 2005-全国卷II理-22 解-利用导数研究函数的

• 2005-全国卷III理-14 填-平面向量的坐标减法运算