2012-陕西卷理-17 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与性质，以及等差数列的判定。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

设 $\{a_n\}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_5,a_3,a_4$ 成等差数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的公比；

(2) 证明：对任意 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$S_{k+2},S_k,S_{k+1}$ 成等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_5,a_3,a_4$ 成等差得 $2a_3=a_5+a_4$，用通项公式化为公比 $q$ 的方程。

2. 解 $q$（$q\ne 1$）。

3. 证明 $S_{k+2},S_k,S_{k+1}$ 成等差，即 $2S_k=S_{k+2}+S_{k+1}$。

✅【答案】

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(1) 公比为 $-2$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设公比 $q\ne 1$，$2a_3=a_5+a_4\Rightarrow 2a_1{q}^2=a_1{q}^4+a_1{q}^3$。

除以 $a_1{q}^2$（$a_1\ne 0,q\ne 0$）：$2=q^2+q\Rightarrow q^2+q-2=0\Rightarrow (q+2)(q-1)=0$。

$q\ne 1$，故 $q=-2$。

(2) $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，需证 $2S_k=S_{k+1}+S_{k+2}$。

代入化简：$2(1-q^k)=(1-q^{k+1})+(1-q^{k+2})$，即 $2q^k=q^{k+1}+q^{k+2}$，等价于 $2=q+q^2$，由 $q=-2$ 成立。

故 $S_{k+2},S_k,S_{k+1}$ 成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与求和

核心方法：等差数列的判定

避坑指南：等比数列的性质

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列与等差数列的转化

结论推广：可推广到等差等比数列的综合

方法推广：公比 $q\ne 1$ 时才能用求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-21 解-平面向量的数量积坐标运算

• 2002-新课标理-22 解-数列的递推关系

• 2005-上海卷理-20 解-等差数列与等比数列的通项