2013-上海卷文-20 解-利润建模最值

本题导读

本题考查函数模型及其应用。核心在于建模、求导并通分定单调性的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 甲厂以 $x$ 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1⩽x⩽10$），每一小时可获得的利润是 $100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元.

(1)求证：生产 $a$ 千克该产品所获得的利润为 $100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$ 元；

(2)要使生产 $900$ 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

🔍【思路分析】

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1. 生产 $a$ 千克需 $\frac{a}{x}$ 小时，故总利润 $=\frac{a}{x}\times 100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)$，化简即得 (1) 式。
2. 取 $a=900$ 得 $P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$，$x\in [1,10]$。
3. 求导：$P^{\prime }(x)=90000\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}\right)=\frac{90000(6-x)}{x^3}$。
4. $1⩽x<6$ 时 $P^{\prime }(x)>0$，$6<x⩽10$ 时 $P^{\prime }(x)<0$，故 $x=6$ 时取最大。
5. $P(6)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{3}{36}\right)=90000\times \frac{61}{12}=457500$ 元。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) 应选取 $6$ 千克/小时的生产速度，最大利润为 $457500$ 元

✍【详细解析】

Abstract

**（1）**若生产速度为 $x$ 千克/小时，则生产 $a$ 千克该产品需要 $\frac{a}{x}$ 小时。 每小时可获得的利润是 $100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元，所以总利润为 $\frac{a}{x}\times 100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\text{（元）},$ 即生产 $a$ 千克该产品所获得的利润为 $100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$ 元。 **（2）**当生产 $900$ 千克该产品时，$a=900$，利润关于速度 $x$ 的函数为 $P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right),1⩽x⩽10.$ 求导得 $P^{\prime }(x)=90000\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}\right)=\frac{90000(6-x)}{x^3}.$ 因为 $x>0$，所以当 $1⩽x<6$ 时 $P^{\prime }(x)>0$，$P(x)$ 单调递增；当 $6<x⩽10$ 时 $P^{\prime }(x)<0$，$P(x)$ 单调递减。因此 $P(x)$ 在 $x=6$ 处取得最大值： $P(6)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{3}{36}\right)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\right)=90000\times \frac{61}{12}=457500.$ 所以甲厂应选择 $6$ 千克/小时的生产速度，此时可获得最大利润 $457500$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利润建模与导数求最值

核心方法：(1) 生产 $a$ 千克需 $\frac{a}{x}$ 小时，利润 $=\frac{a}{x}\cdot 100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$；(2) $a=900$ 时 $P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$，$P^{\prime }(x)=\frac{90000(6-x)}{x^3}$，$x=6$ 时最大，$P(6)=457500$ 元

避坑指南：应用题先写定义域 $x\in [1,10]$，再用导数在闭区间上比较极值与端点；求导后必须通分、因式分解成 $\frac{90000(6-x)}{x^3}$ 才能一眼看出 $x=6$ 左右变号；作答要带单位且回答”选什么、最大是多少”两问

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“单位时间利润 → 生产定量产品的总利润”是高考应用题的经典模型，与 2015 上海文 21 的函数建模、2013 重庆文 20 的建池问题同属”建模 + 最值”类。

结论推广：若每小时利润为 $g(x)$、速度为 $x$，则生产 $a$ 千克需时 $\frac{a}{x}$，总利润 $P(x)=\frac{a}{x}g(x)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$；令 $t=\frac{1}{x}$ 也可化为关于 $t$ 的二次函数求最值。

方法推广：解应用题四步：① 设自变量并写出取值范围；② 用”速率 × 时间”列函数式；③ 求导（或配方、基本不等式）定最值点；④ 回到实际背景作答（速度、最大值、单位）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-21 解-函数建模
• 2013-重庆卷文-20 解-圆柱建池体积最大
• 2013-广东卷文-21 解-三次函数闭区间最值