2015-上海卷文-21 解-函数建模

本题导读

函数建模与最值。把人、车的位置写成时间的函数，距离就化为二次根式，再用二次函数在区间上的最值（顶点与端点比较）判断”是否超过 3 千米”。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 如图，$O$，$P$，$Q$ 三地有直道相通，$OP=3$ 千米，$PQ=4$ 千米，$OQ=5$ 千米. 现甲，乙两警员同时从 $O$ 地出发匀速前往 $Q$ 地. 经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）. 甲的路线是 $OQ$，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 $OPQ$，速度为 8 千米/小时. 乙到达 $Q$ 地在原地等待. 设 $t=t_1$ 时，乙到达 $P$ 地；$t=t_2$ 时，乙到达 $Q$ 地.

(1) 求 $t_1$ 与 $f(t_1)$ 的值；

(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米. 当 $t_1⩽t⩽t_2$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $[t_1,t_2]$ 上的最大值是否超过 3？说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先判断三角形形状：$3^2+4^2=5^2$，故 $OP\perp PQ$，这为建系提供方便。
2. 取 $O=(0,0)$，$P=(3,0)$，$Q=(3,4)$，把甲、乙的位置写成 $t$ 的坐标。
3. $f(t)$ 即两点距离，平方后是二次函数 —— 求最值时”先看顶点是否落在区间内”，再比较端点。

✅【答案】

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(1) $t_1=\frac{3}{8}$，$f(t_1)=\frac{\sqrt{369}}{8}$ 千米

(2) $f(t)=\sqrt{25t^2-42t+18}$，$\frac{3}{8}⩽t⩽\frac{7}{8}$；$f(t)$ 在 $[t_1,t_2]$ 上的最大值不超过 3 千米

✍【详细解析】

Abstract

由 $OP=3$，$PQ=4$，$OQ=5$ 知 $3^2+4^2=5^2$，故 $OP\perp PQ$。取

$O=(0,0),P=(3,0),Q=(3,4).$

（1） 乙沿 $OP$ 以 8 千米/小时行驶，到达 $P$ 所需时间

$t_1=\frac{OP}{8}=\frac{3}{8}.$

此时甲沿 $OQ$ 已走过 $5t_1=\frac{15}{8}$ 千米。因 $|OQ|=5$，甲的位置在 $OQ$ 上距 $O$ 为 $\frac{15}{8}$ 处，即

$A=\frac{15/8}{5}Q=\frac{3}{8}(3,4)=\left(\frac{9}{8},\frac{3}{2}\right).$

而乙在 $P=(3,0)$，故

$f(t_1)=|AP|=\sqrt{{\left(3-\frac{9}{8}\right)}^2+{\left(0-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{225}{64}+\frac{144}{64}}=\sqrt{\frac{369}{64}}=\frac{\sqrt{369}}{8}.$

（2） 乙到达 $Q$ 所需时间

$t_2=\frac{OP+PQ}{8}=\frac{3+4}{8}=\frac{7}{8}.$

当 $t_1⩽t⩽t_2$ 时，甲的位置为 $M=(3t,4t)$（沿 $OQ$ 匀速）；乙已过 $P$，位置为 $N=(3,8t-3)$（沿 $PQ$ 匀速）。于是

$f(t)=|MN|=\sqrt{(3t-3{)}^2+(4t-8t+3{)}^2}=\sqrt{25t^2-42t+18},\frac{3}{8}⩽t⩽\frac{7}{8}.$

令 $g(t)=f^2(t)=25t^2-42t+18$。因 $g^{\prime }(t)=50t-42$，其对称轴 $t=\frac{21}{25}$ 落在 $\left[\frac{3}{8},\frac{7}{8}\right]$ 内，且开口向上，所以 $g(t)$ 的最大值在端点处取得。计算得

$g\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{369}{64},g\left(\frac{7}{8}\right)=\frac{25}{64}.$

故

${\max }_{t\in [t_1,t_2]}f(t)=\sqrt{\frac{369}{64}}=\frac{\sqrt{369}}{8}<3.$

所以 $f(t)$ 在 $[t_1,t_2]$ 上的最大值不超过 3 千米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数建模；两点间距离公式；二次函数在闭区间上的最值；实际问题中的范围限定。

2. 核心方法：“建系 → 写坐标 → 距离化二次 → 顶点与端点比较”，是函数建模最值的标准流水线。

3. 避坑指南：① 开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在端点、最小值才可能在顶点 —— 别把两者搞反；② 乙过 $P$ 后位置是 $(3,8t-3)$，$8t-3$ 这个表达式要在 $t=\frac{7}{8}$ 时正好等于 4（到 $Q$），可用来自查；③ 比较 $\frac{\sqrt{369}}{8}$ 与 3 时，两边平方即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷的”应用题”偏爱几何背景（勾股、三角形），把运动过程转化为坐标是解题的第一道关。

2. 结论推广: 若把对讲机有效距离改为 $d$，则”是否能保持通话”等价于 $\frac{\sqrt{369}}{8}⩽d$，即 $d⩾\frac{\sqrt{369}}{8}\approx 2.40$。

3. 方法推广: “几何建模 + 二次最值 + 端点比较”可迁移到一切”运动中的距离最值”问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-20 解-余弦定理