2015-山东卷文-14 填-新定义运算

本题导读

$x\otimes y=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 定义运算"$\otimes$"：$x\otimes y=\frac{x^2-y^2}{xy}$（$x$，$y\in \mathbf{R}$，$xy\ne 0$）．当 $x>0$，$y>0$ 时，$x\otimes y+(2y)\otimes x$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$x\otimes y=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$。把 $x\otimes y+(2y)\otimes x$ 展开成两项，凑出”积为定值”的结构用基本不等式。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

先化简：$x\otimes y=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$，$(2y)\otimes x=\frac{(2y{)}^2-x^2}{2yx}=\frac{2y}{x}-\frac{x}{2y}$。

相加：$x\otimes y+(2y)\otimes x=\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac{2y}{x}-\frac{x}{2y}=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}$。

由 $x>0$，$y>0$，$\frac{x}{2y}\cdot \frac{y}{x}=\frac{1}{2}$（定值），

故 $\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}⩾2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，当且仅当 $\frac{x}{2y}=\frac{y}{x}$ 即 $x=\sqrt{2}y$ 时取等号。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算的理解与化简；基本不等式

核心方法：按定义展开、合并消项，凑”积为定值”

避坑指南：（1）$(2y)\otimes x$ 的分子是 $(2y{)}^2-x^2$，别写成 $2(y^2-x^2)$；（2）中间项 $-\frac{y}{x}$ 与 $+\frac{2y}{x}$ 合并成 $+\frac{y}{x}$，是本题化简的关键一步；（3）取等条件 $x=\sqrt{2}y$ 要能写出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“新定义 + 基本不等式”是考查学习迁移力的经典命题手法，化简后的结构 $(\frac{x}{2y}+\frac{y}{x})$ 恰好积为定值。

结论推广：若定义改为 $x\otimes y=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，则 $x\otimes y+(2y)\otimes x=\frac{3x}{2y}+\frac{3y}{x}⩾3\sqrt{2}$，套路完全一致。

方法推广：新定义题三步：“读懂定义—代入化简—识别基本模型”。化简目标永远是露出教科书上的经典结构。

🔗【关联脉络】

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