2013-上海卷理-18 单-向量的加法

本题导读

本题考查向量的运算，以及向量的加法。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)）在边长为 1 的正六边形 $A B C D E F$ 中，记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ；以 $D$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5}$ .若 $m, M$ 分别为 $(a_{i} + a_{j} + a_{k}) \cdot (d_{r} + d_{s} + d_{t})$ 的最小值、最大值，其中 ${i, j, k} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ， ${r, s, t} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ，则 $m, M$ 满足().

A. $m = 0, M > 0$ 　　　　　　　　　　　　　　　B. $m < 0, M > 0$

C. $m < 0, M = 0$ 　　　　　　　　　　　　　　　D. $m < 0, M < 0$

🔍【思路分析】

破题导航

建立几何直观：

设正六边形中心为 $O$ 。顶点 $A$ 和 $D$ 关于 $O$ 中心对称。

以 $A$ 为起点的向量集合为 ${A B, A C, A D, A E, A F}$ 。

以 $D$ 为起点的向量集合为 ${D A, D B, D C, D E, D F}$ 。

分析向量和的指向：

记 $S_{a} = a_{i} + a_{j} + a_{k}$ ， $S_{d} = d_{r} + d_{s} + d_{t}$ 。

所有的 $a_{n}$ 向量都指向以 $A$ 为中心的一侧，它们的和 $S_{a}$ 必然落在以 $A D$ 为角平分线的某个张角范围内。由于是对称分布，其方向大致从 $A$ 指向 $D$ 。

同理，所有的 $d_{n}$ 向量其方向大致从 $D$ 指向 $A$ 。

点积正负判定：

点积 $P = S_{a} \cdot S_{d} = ∣ S_{a} ∣∣ S_{d} ∣ cos θ$ ，正负性取决于夹角 $θ$ 。

观察发现 $S_{a}$ 与 $S_{d}$ 的大方向是相反的（钝角），因此绝大多数情况点积应为负。

关键在于是否存在极端组合使得夹角变成锐角或直角（即 $M \geq 0$ ）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：向量分解与方向定位 设 $A D = x$ 。由于 $A, D$ 是正六边形的对角顶点，向量 ${a_{n}}$ 的合力方向基本与 $A D$ 平行。事实上， $\sum_{n = 1}^{5} a_{n} = 3 A D$ 。对于任意三项之和 $S_{a}$ ，其在 $A D$ 方向上的投影始终为正。同理，对于任意三项之和 $S_{d}$ ，其在 $D A$ 方向上的投影始终为正（即在 $A D$ 方向上的投影始终为负）。

第二步：寻找最大值 $M$ 的可能性 要使点积尽可能大，需要 $S_{a}$ 和 $S_{d}$ 尽可能同向。但由于 $S_{a}$ 只能在以 $A$ 为顶点的张角（ $12 0^{\circ}$ ）内， $S_{d}$ 只能在以 $D$ 为顶点的张角内。这两个张角区域是完全背向的。

考虑最极端的、夹角最小的情况：

令 $S_{a}$ 尽可能偏向一侧，如 $S_{a} = A B + A C + A D$ 。

令 $S_{d}$ 尽可能向该侧靠拢，如 $S_{d} = D C + D B + D A$ 。

由于正六边形的内角为 $12 0^{\circ}$ ：

$A B$ 与 $D C$ 同向，但 $A B \cdot D C$ 是极少部分的。

大部分分量（如 $A D \cdot D A$ ）都是反向的，且模长很大（对角线长度为 2）。

第三步：精确判定 通过计算所有分量点积发现：只有 $A F \cdot D E > 0$ 且 $A B \cdot D C > 0$ 。除此之外，其他所有项如 $a_{i} \cdot d_{r}$ 几乎全是负数（例如 $A D \cdot D A = - 4$ ）。即便选出最有利于正数的组合（即包含 $A B, A F$ 和 $D C, D E$ ），由于每个括号必须选三项，无可避免地要选入对角线 $A D$ 或 $D A$ 等强负值项。

例如选最小负荷组合： $S_{a} = A B + A F + A C$ ， $S_{d} = D E + D C + D F$ 。即便如此，计算其主要分量在 $A D$ 轴上的投影和，依然为负值。由于所有可能的组合中，负向分量（由 $A \to D$ 对阵 $D \to A$ 决定）远超正向局部平行分量，因此 $M$ 无法达到 $0$ ，更无法大于 $0$ 。

故 $m < M < 0$ 。

故正确选项为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的几何意义与正负判断。

核心方法：“投影法”。将所有向量投影到对称轴 $A D$ 上。 $a_{n}$ 在 $A D$ 上的投影分量均为正， $d_{n}$ 在 $A D$ 上的投影分量均为负。两组和向量在轴上的分量始终异号，故其点积必为负。

避坑指南：不要陷入复杂的坐标运算。利用正六边形“两端向量指向中心，总体趋势背离”的几何直观能快速锁定答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的分解与合成、余弦定理在向量中的应用。

结论推广：在任何中心对称的正多边形中，从相对两个顶点出发的向量组，其任意子集和的点积通常为负，因为它们的总体位移矢量是反向的。

方法推广：“投影法”。将所有向量投影到对称轴 $A D$ 上。 $a_{n}$ 在 $A D$ 上的投影分量均为正， $d_{n}$ 在 $A D$ 上的投影分量均为负。两组和向量在轴上的分量始终异号，故其点积必为负。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

09.03 平面向量的数量积

09.02 平面向量的线性运算

09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

2026-北京卷-06 单-向量的模

2015-上海卷文-13 填-向量的模

2014-湖南卷文-10 单-向量模

∑ ( Math )

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2013-上海卷理-18 单-向量的加法

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