2015-上海卷文-13 填-向量的模

本题导读

考查向量模的最值。$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 给出正交结构，把 $\mathbf{c}$ 沿两者分解，再用三角不等式即可。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 已知平面向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 满足 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，且 $\{|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|,|\mathbf{c}|\}=\{1,2,3\}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 且三者模长为 $1,2,3$ 的一组排列，得 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2}$，取 $|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|$ 为 $1,2$ 时该值最大，为 $\sqrt{5}$。
2. 由三角不等式 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|⩽|\mathbf{a}+\mathbf{b}|+|\mathbf{c}|$。
3. 验证等号可取（$\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 同向）。

✅【答案】

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$3+\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，所以

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2.$

在 $\{|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|,|\mathbf{c}|\}=\{1,2,3\}$ 下，为使结果最大，取 $|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=2$，$|\mathbf{c}|=3$，此时

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$

由三角不等式

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|⩽|\mathbf{a}+\mathbf{b}|+|\mathbf{c}|=\sqrt{5}+3.$

当 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 同向时等号成立，故最大值为 $3+\sqrt{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的垂直、向量的模、三角不等式。

2. 核心方法：“正交分解 + 三角不等式”，先合并同向部分，再把不同向部分用不等式放缩。

3. 避坑指南：必须先论证等号能取到，否则只能说明”上界”而非”最大值”；另外三个模长如何分配给 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 会影响结果，需说明取法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：向量模的最值是上海卷填空压轴的常客，考查不等式取等的敏锐度。

2. 结论推广: 若把条件改为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$、$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=0$，则 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}$ 平行，最值结构随之改变。

3. 方法推广: “三角不等式 + 取等验证”是处理一切”模的最大值”问题的标准两步。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-14 填-三角形面积