2013-四川卷理-02 单-复平面的概念

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及复平面的概念。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 如图，在复平面内，点 $A$ 表示复数 $z$，则图中表示 $z$ 的共轭复数的点是()

A. $A$　　　　　　　B. $B$　　　　　　　C. $C$　　　　　　　D. $D$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数的坐标表示：设复数 $z=x+yi$（$x,y\in \mathbb{R}$），在复平面内对应的点坐标为 $(x,y)$。
2. 共轭复数的定义：$z$ 的共轭复数 $\bar{z}=x-yi$。
3. 几何对称性分析：
   • 点 $z(x,y)$ 与点 $\bar{z}(x,-y)$ 的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
   • 这意味着两个点关于 实轴（x 轴） 对称。
4. 图像观察：在给定的复平面图中，寻找与点 $A$ 关于水平轴（实轴）对称的点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代数表示 设点 $A$ 表示的复数为 $z=x+yi$。 从图中可以看出点 $A$ 位于第二象限（或左上方区域），其坐标特征为 $x<0,y>0$。

第二步：求共轭复数及其点坐标 复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=\overline{x+yi}=x-yi$。 在复平面内，$\bar{z}$ 对应的点坐标为 $(x,-y)$。

第三步：确定几何位置 比较 $A(x,y)$ 与 $(x,-y)$：

• 它们的横坐标相同（都在 y 轴左侧）；
• 它们的纵坐标互为相反数。 因此，表示 $\bar{z}$ 的点应与点 $A$ 关于水平的实轴（图中 $y$ 轴方向虽然标法不同，但通常横轴为实轴）对称。 观察图示，点 $B$ 与点 $A$ 位于同一垂直线上，且到水平轴的距离相等，分布在轴的两侧。 所以点 $B$ 表示 $z$ 的共轭复数。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：- 复数 $z=a+bi$ 对应点 $P(a,b)$。 - 共轭复数 $\bar{z}=a-bi$ 对应点 $P^{\prime }(a,-b)$。 2. 核心规律：复数及其共轭复数在复平面内关于 实轴（横轴） 对称。

核心方法：见详细解析

避坑指南：- 不要将共轭复数与相反数（关于原点对称）混淆。 - 注意图中轴的标注。虽然图中水平轴标了 $y$，垂直轴标了 $x$，但共轭的逻辑本质是“虚部变号”，对应到坐标系中即为关于 非虚部轴 的对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：- 复数 $z=a+bi$ 对应点 $P(a,b)$。 - 共轭复数 $\bar{z}=a-bi$ 对应点 $P^{\prime }(a,-b)$。 2. 核心规律：复数及其共轭复数在复平面内关于 实轴（横轴） 对称。

结论推广：- 若 $z$ 为实数，则其对应点在实轴上，共轭复数就是其本身。 - 若 $z$ 为纯虚数，则其对应点在虚轴上，共轭复数关于原点对称。

方法推广：处理复数几何题时，牢记“横实纵虚”的坐标对应关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-03 单-复平面共轭