2013-四川卷理-09 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及线性规划。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 $4$ 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 $4$ 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 $2$ 秒的概率是()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{7}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立数学模型：
   • 设第一串彩灯第一次闪亮的时刻为 $x$，第二串彩灯第一次闪亮的时刻为 $y$。
   • 根据题意，$x,y$ 的取值范围均在 $[0,4]$ 之间，即： $\{\begin{array}{l}0\le x\le 4\\ 0\le y\le 4\end{array}$
   • 该不等式组在坐标系中表示一个边长为 $4$ 的正方形区域，其面积 $S_{\text{总}}=4\times 4=16$。
2. 确定目标条件：
   • 题目要求“第一次闪亮的时刻相差不超过 $2$ 秒”，即 $|x-y|\le 2$。
   • 展开得到不等式组：$-2\le x-y\le 2$，即： $\{\begin{array}{l}y\le x+2\\ y\ge x-2\end{array}$
3. 计算面积与概率：
   • 目标区域是正方形内夹在两条平行线之间的部分。
   • 简便计算：利用补集思想。先算出不符合条件的区域（即正方形两个顶角处的三角形面积）。
   • 最后，概率 $P=\frac{S_{\text{目标}}}{S_{\text{总}}}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：描绘总体区域


在直角坐标系 $xOy$ 中，$0\le x\le 4,0\le y\le 4$ 表示一个以原点为左下角、边长为 $4$ 的正方形 $O(0,0),N(4,0),C(4,4),M(0,4)$。 $S_{\text{正方形}}=4^2=16$

第二步：描绘目标区域 目标事件满足 $|x-y|\le 2$，其对应的平面区域位于直线 $y=x+2$ 下方和直线 $y=x-2$ 上方。

第三步：计算面积

不符合条件的区域（即 $|x-y|>2$）是两个全等的等腰直角三角形：

• 左上角三角形：直角边长为 $4-2=2$，面积 $S_1=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。
• 右下角三角形：直角边长为 $4-2=2$，面积 $S_2=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。 则目标区域（阴影部分）的面积为： $S_{\text{阴影}}=S_{\text{正方形}}-(S_1+S_2)=16-4=12$

第四步：求概率 根据几何概型公式： $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型的定义（测度比值）；绝对值不等式表示的平面区域。

核心方法：“补集法”。在计算多边形面积时，用大正方形减去直角三角形往往比直接计算六边形面积更快且更准确。

避坑指南：- 准确画出 $y=x\pm 2$ 的截距位置。 - 理解“相差不超过 $2$”对应的是两条边界线之间的部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划、会面问题（经典几何概型应用题型）。

结论推广：在边长为 $L$ 的正方形中，满足 $|x-y|\le d$ ($d\le L$) 的概率公式为 $P=1-\frac{(L-d{)}^2}{L^2}$。本题中 $L=4,d=2$，代入得 $P=1-\frac{2^2}{4^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

方法推广：“补集法”。在计算多边形面积时，用大正方形减去直角三角形往往比直接计算六边形面积更快且更准确。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-12 单-几何概型
• 2015-福建卷文-08 单-几何概型
• 2015-湖北卷文-08 单-几何概型