2013-大纲卷理-02 单-复数的乘方运算

本题导读

本题考查复数的乘方运算，以及完全立方公式。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） $(1+\sqrt{3}i{)}^3=$ ()

A. $-8$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $-8i$　　　　　　　D. $8i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直接展开法：利用完全立方公式 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ 进行展开。

2. 复数性质法：观察复数形式。注意到 $1+\sqrt{3}i=2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$，这与单位根（立方虚根）有关。利用 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 且 ${\omega }^3=1$ 的性质。

3. 极坐标/三角形式：将复数化为 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 形式，利用棣莫弗定理计算高次幂。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数展开法（最常用）

利用公式 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$：

$(1+\sqrt{3}i{)}^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot (\sqrt{3}i)+3\cdot 1\cdot (\sqrt{3}i{)}^2+(\sqrt{3}i{)}^3$

$=1+3\sqrt{3}i+3(-3)+3\sqrt{3}{i}^3$

$=1+3\sqrt{3}i-9-3\sqrt{3}i$

$=-8$

方法二：三角形式法（最直观）

设 $z=1+\sqrt{3}i$，则模长 $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$。

辐角为 $\theta =\frac{\pi }{3}$，即 $z=2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$。

根据棣莫弗定理：

$z^3=2^3(\cos (3\cdot \frac{\pi }{3})+i\sin (3\cdot \frac{\pi }{3}))$

$=8(\cos \pi +i\sin \pi )$

$=8(-1+0i)=-8$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数代数形式的乘方运算。

核心方法：熟练掌握完全立方公式及 $i$ 的幂次循环性质（$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$）。

避坑指南：在计算过程中，$(\sqrt{3}i{)}^2$ 中的根号平方和 $i$ 的平方不可漏掉；注意 $3\sqrt{3}i$ 与 $-3\sqrt{3}i$ 的相互抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立方虚根 $\omega$ 的性质（${\omega }^2+\omega +1=0$）；复数的几何意义。

结论推广：若复数 $z$ 满足 $|z|=r,\arg (z)=\theta$，则 $z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$。

方法推广：对于高次幂（如 $z^{2013}$），统一使用三角形式或寻找周期性是解题捷径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

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• 2015-新课标II卷文-02 单-复数运算
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