2013-大纲卷理-18 解-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于代数变形法、恒等变换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的内角对边分别为 $a,b,c$，满足 $(a+b+c)(a-b+c)=ac$.

(1)求 $B$；

(2)若 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，求 $C$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：观察已知等式左边符合平方差公式结构，即 $[(a+c)+b][(a+c)-b]$。展开整理后可得 $a^2+c^2-b^2$ 与 $ac$ 的关系，再代入余弦定理求出 $\cos B$。
2. 第二问：
   • 由第一问求得的 $B$ 可知 $A+C$ 的度数。
   • 利用两角差的余弦公式 $\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C$。
   • 关键技巧在于将 $\cos A\cos C$ 转化为包含 $\cos (A+C)$ 和 $\sin A\sin C$ 的形式：$\cos (A-C)=\cos (A+C)+2\sin A\sin C$。
   • 计算得到 $\cos (A-C)$ 的值后求出 $A-C$，再与 $A+C$ 联立方程组求 $C$。

✅【答案】

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(1)求 $B$；(2)求 $C$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求 $B$ 由题意得：$(a+c+b)(a+c-b)=ac$ 利用平方差公式：$(a+c{)}^2-b^2=ac$ 展开整理得：$a^2+2ac+c^2-b^2=ac$ 即：$a^2+c^2-b^2=-ac$

根据余弦定理： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{-ac}{2ac}=-\frac{1}{2}$ 因为 $B\in (0,\pi )$， 所以 $B=120^{\circ }$。

（Ⅱ）求 $C$ 由（Ⅰ）知 $B=120^{\circ }$，在 $△ABC$ 中，$A+C=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。 故 $\cos (A+C)=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

已知 $\sin A\sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，利用和差化积思想的变形： $\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C$ $\cos (A+C)=\cos A\cos C-\sin A\sin C$ 两式相减可得：$\cos (A-C)-\cos (A+C)=2\sin A\sin C$

则： $\cos (A-C)=\cos (A+C)+2\sin A\sin C$ $\cos (A-C)=\frac{1}{2}+2\times \frac{\sqrt{3}-1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

由于 $A,C>0$ 且 $A+C=60^{\circ }$，故 $|A-C|<60^{\circ }$。 由 $\cos (A-C)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得： $A-C=30^{\circ }$ 或 $A-C=-30^{\circ }$

联立方程组：

1. 若 $\{\begin{array}{l}A+C=60^{\circ }\\ A-C=30^{\circ }\end{array}⟹C=15^{\circ }$
2. 若 $\{\begin{array}{l}A+C=60^{\circ }\\ A-C=-30^{\circ }\end{array}⟹C=45^{\circ }$

所以 $C$ 的值为 $15^{\circ }$ 或 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理的代数变形应用；两角和差公式的灵活组合。

核心方法：“结构转化法”。在第二问中，通过 $\cos (A-C)$ 与 $\cos (A+C)$ 的关系避开求具体的 $\cos A$ 和 $\cos C$，这是解题的捷径。

避坑指南：- 第一问整理出的符号不要错，$\cos B=-1/2$ 对应的是钝角。 - 第二问求出 $A-C$ 的余弦值后，注意 $A-C$ 有正负两种可能，不要漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、三角形面积公式。

结论推广：在三角形中，$\cos (A-C)+\cos (A+C)=2\cos A\cos C$。

方法推广：涉及 $a,b,c$ 的齐次式（如 $a^2+b^2-c^2$）应优先联想余弦定理；涉及角的关系应优先联想和差公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角