2013-天津卷文-02 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}3x+y-6⩾0,\\ x-y-2⩽0,\\ y-3⩽0,\end{array}$ 则目标函数 $z=y-2x$ 的最小值为()

A. $-7$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 三直线交点：$3x+y-6=0$ 与 $x-y-2=0$ → $(2,0)$；$3x+y-6=0$ 与 $y=3$ → $(1,3)$；$x-y-2=0$ 与 $y=3$ → $(5,3)$。
2. 代入 $z=y-2x$：$(2,0)\to -4$；$(1,3)\to 1$；$(5,3)\to -7$。
3. 最小值 $-7$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

约束条件的三条边界直线为 $3x+y-6=0$、$x-y-2=0$、$y=3$。两两求交点： $3x+y-6=0\text{与}x-y-2=0\Rightarrow (2,0);$ $3x+y-6=0\text{与}y=3\Rightarrow (1,3);$ $x-y-2=0\text{与}y=3\Rightarrow (5,3).$ 可行域是以这三点为顶点的三角形区域。把三个顶点代入目标函数 $z=y-2x$： $(2,0):z=0-4=-4;(1,3):z=3-2=1;(5,3):z=3-10=-7.$ 比较得 $z$ 的最小值为 $-7$（在 $(5,3)$ 处取得）。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求目标函数最值

核心方法：可行域为三角形，三顶点 $(1,3)$、$(5,3)$、$(2,0)$；$z=y-2x$：$z(1,3)=1$，$z(5,3)=-7$，$z(2,0)=-4$ → 最小值 $-7$

避坑指南：三条边界直线两两求交点得三个顶点，再逐个代入 $z=y-2x$ 比较；$y-2x$ 中 $x$ 的系数为 $-2$，最小值出现在 $x$ 最大的顶点 $(5,3)$——先把可行域画准，别只凭”离原点远近”猜。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与线性目标函数的最值。

结论推广：画可行域定顶点；顶点代入比较。

方法推广：三直线两两求交 → 得三顶点 → 代入 $z$ 比较取最小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-安徽卷文-12 填-线性规划非负
• 2013-广东卷文-13 填-线性规划最值