2013-天津卷理-07 单-零点理论

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及零点理论。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 函数 $f(x)=2^x|{\log }_{0.5}x|-1$ 的零点个数为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化方程：函数 $f(x)$ 的零点即方程 $f(x)=0$ 的根。 $2^x|{\log }_{0.5}x|-1=0⟹2^x|{\log }_{0.5}x|=1$
2. 分离函数：由于 $2^x>0$ 恒成立，可以将方程变形为： $|{\log }_{0.5}x|=\frac{1}{2^x}=(0.5{)}^x$
3. 构造模型：令 $g(x)=|{\log }_{0.5}x|$，$h(x)=(0.5{)}^x$。原题转化为求这两个函数图像交点的个数。
4. 数形结合：在同一坐标系中画出两个函数的草图，观察其交点位置和数量。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract


第一步：分析函数 $g(x)=|{\log }_{0.5}x|$

• 基础函数 $y={\log }_{0.5}x$ 是减函数，且过点 $(1,0)$。
• 加上绝对值后，图像在 $x\in (0,1)$ 部分（原值为正）保持不变，在 $x\in [1,+\infty )$ 部分（原值为负）翻折到 $x$ 轴上方。
• 图像特点：在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，形状呈“V”型，且以 $x$ 轴为渐近线（当 $x\to 0$ 时，$g(x)\to +\infty$）。

第二步：分析函数 $h(x)=(0.5{)}^x$

• 这是一个底数为 $0.5$ 的指数函数，是 $\mathbb{R}$ 上的减函数。
• 图像过点 $(0,1)$。

第三步：判定交点个数

1. 在区间 $(0,1)$ 内：
   • 当 $x\to 0^{+}$ 时，$g(x)\to +\infty$ 而 $h(0)=1$，说明在 $x$ 轴靠近原点处 $g(x)$ 在 $h(x)$ 上方。
   • 当 $x=1$ 时，$g(1)=0$ 而 $h(1)=0.5$，说明此时 $g(x)$ 在 $h(x)$ 下方。
   • 由于两个函数在 $(0,1)$ 上都是连续变化的，且 $g(x)$ 的下降速度快于指数函数，根据零点存在性定理，在 $(0,1)$ 内必有 1个交点。
2. 在区间 $[1,+\infty )$ 内：
   • 当 $x=1$ 时，$g(1)=0<h(1)=0.5$。
   • 当 $x$ 很大时，对数增长速极慢，而指数函数 $h(x)$ 会迅速趋近于 $0$。
   • 例如取 $x=2$：$g(2)=|{\log }_{0.5}2|=|-1|=1$；$h(2)=(0.5{)}^2=0.25$。此时 $g(x)>h(x)$。
   • 同样根据连续性，在 $(1,+\infty )$ 内必有 1个交点。

综上，共有 2 个交点，即函数有 2 个零点。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点与方程根的转化；图像变换（绝对值翻折）；图像交点判定。

核心方法：数形结合法。对于跨越不同函数类型（超越方程）的零点问题，通过画图观察趋势是最有效的方法。

避坑指南：- 分段讨论区间 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty )$。 - 注意 $x=1$ 这个关键点的函数值对比。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数恒等式 ${\log }_{0.5}x=-{\log }_{2}x$；函数增长速度对比（指数 > 幂 > 对数）。 3.

结论推广：方程 $a^x=|{\log }_{b}x|$ 的根的个数通常取决于底数 $a,b$ 与 $1$ 的大小关系。

方法推广：数形结合法。对于跨越不同函数类型（超越方程）的零点问题，通过画图观察趋势是最有效的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-21 解-函数零点讨论
• 2025-天津卷-07 单-零点存在性定理
• 2024-新高考II卷-08 单-共零点