2025-天津卷-07 单-零点存在性定理

本题导读

本题考查函数零点所在区间的判定.核心逻辑是利用零点存在性定理，通过计算区间端点的函数值符号，寻找函数值由正转负（或由负转正）的区间。同时结合函数单调性，确保零点的唯一性，是天津卷函数板块的中等难度题.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）函数 $f(x)=0.3^x-\sqrt{x}$ 的零点所在区间是()

A. $(0,0.3)$　　　B. $(0.3,0.5)$　　　C. $(0.5,1)$　　　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

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1. 确定定义域：由于包含根式 $\sqrt{x}$，要求 $x⩾0$.
2. 分析单调性：判断 $f(x)$ 在定义域上的增减性，以确定零点的唯一性.
3. 估算端点值：依次计算选项中各区间的端点函数值，寻找满足 $f(a)\cdot f(b)<0$ 的区间.
4. 数值比较技巧：利用指数函数与幂函数的单调性，比较 $0.3^x$ 与 $\sqrt{x}$ 的大小.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析单调性 对于函数 $f(x)=0.3^x-\sqrt{x}$：

• $y_1=0.3^x$ 是底数为 $0.3$ ($0<0.3<1$) 的指数函数，在 $[0,+\infty )$ 上单调递减.
• $y_2=-\sqrt{x}$ 是二次根式函数的相反数，在 $[0,+\infty )$ 上单调递减.
• 根据“减函数 + 减函数 = 减函数”的性质，可知 $f(x)$ 在其定义域 $[0,+\infty )$ 上是连续的单调递减函数。因此，该函数若有零点，则是唯一的.

2.计算端点值符号

• 当 $x=0$ 时：$f(0)=0.3^0-\sqrt{0}=1-0=1>0$.
• 当 $x=0.3$ 时：$f(0.3)=0.3^{0.3}-\sqrt{0.3}$. 由于 $\sqrt{0.3}=0.3^{0.5}$，且指数函数 $y=0.3^x$ 在底数小于 1 时，指数越小幂值越大. 因为 $0.3<0.5$，所以 $0.3^{0.3}>0.3^{0.5}$. 从而 $f(0.3)=0.3^{0.3}-0.3^{0.5}>0$.
• 当 $x=0.5$ 时：$f(0.5)=0.3^{0.5}-\sqrt{0.5}=\sqrt{0.3}-\sqrt{0.5}$. 由于 $0.3<0.5$，由幂函数 $y=\sqrt{x}$ 的单调性可知 $\sqrt{0.3}<\sqrt{0.5}$. 从而 $f(0.5)<0$.

4.得出结论 因为 $f(0.3)>0$ 且 $f(0.5)<0$，且函数 $f(x)$ 在区间 $[0.3,0.5]$ 上连续且单调递减. 根据零点存在性定理，在区间 $(0.3,0.5)$ 内必存在唯一的零点. 综上，故选： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -零点存在性定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则在开区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点;

• 二分法：通过不断缩小变号区间的长度来逼近零点的数值解.

• 复合函数单调性：同增异减原则在复合函数中的应用.

2. 方法总结：

• 比较大小的基准：在比较 $0.3^{0.3}$ 与 $\sqrt{0.3}$ 时，将 $\sqrt{0.3}$ 转化为指数形式 $0.3^{0.5}$ 是解题的“题眼”.
• 单调性与零点个数：单调函数在定义域内至多有一个零点.若存在变号区间，则零点唯一.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 对于方程 $a^x=x^n$ ($a\in (0,1)$)，其根的个数及分布通常可以通过图象法快速判定.

2. 方法的推广: -图象法：将 $f(x)=0$ 转化为 $0.3^x=\sqrt{x}$，通过画出指数衰减曲线和根式增长曲线的草图，观察其交点大致所在的横坐标区间.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海卷理-10
• 2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间
• 2010-浙江卷文-09 单-零点与函数符号