2013-山东卷理-15 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及数量积的运算律。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 已知向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，且 $|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$.若 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，且 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{BC}$，则实数 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 基底分析：选取 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 作为基底。已知它们的模长及夹角，可以计算它们的数量积 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$。
2. 向量转换：利用向量减法的三角形法则，将 $\overrightarrow{BC}$ 用基底表示为 $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。
3. 利用垂直条件：根据 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{BC}⟺\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，将已知解析式代入并展开。
4. 解方程：利用数量积的分配律展开各项，代入数值求出 $\lambda$。

✅【答案】

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$\frac{7}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算基底的数量积。 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos 120^{\circ }=3\times 2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-3$

第二步：表示相关向量。 已知 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$。 由向量减法可知：$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。

第三步：建立数量积方程。 因为 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{BC}$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}=0$。 $(\lambda \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=0$ 展开得： $\lambda \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\lambda {\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ $(\lambda -1)(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC})-\lambda |\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2=0$

第四步：代入数值求解。 将 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-3$，$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$ 代入上式： $(\lambda -1)(-3)-\lambda \cdot 3^2+2^2=0$ $-3\lambda +3-9\lambda +4=0$ $-12\lambda +7=0$ $\lambda =\frac{7}{12}$

故填入答案为：$\frac{7}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$；数量积的定义与分配律。

核心方法：基底法。将所有未知向量转化为已知长度和夹角的基底向量，是解决向量数量积问题的通用策略。

避坑指南：- 夹角余弦值：$\cos 120^{\circ }=-1/2$，符号千万不能错。 - 向量方向：注意 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，若记反为 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 会导致结果符号相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量在另一向量上的投影、等和线定理。

结论推广：若 $\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ 且 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{BC}$，则参数满足的关系式通常为关于基底模长与夹角的线性方程。

方法推广：也可以建立以 $A$ 为原点的坐标系，利用坐标运算求解，但在夹角为 $120^{\circ }$ 时，基底法通常比坐标法更简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积