2007-广东卷文-04 单-向量数量积与夹角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 若向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　C. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2=1$。
2. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
3. 合计 $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $|\mathbf{a}|=1$，得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2=1$． 又 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$． 因此 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与夹角

核心方法：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$；$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$

避坑指南：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}$ 是模的平方不是模；夹角 60° 的余弦是 $\frac{1}{2}$，别与 30° 混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积的模长与夹角运算是广东卷向量小题的基本盘（2013-2015 均有数量积小题）

结论推广：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$ 是数量积自乘的通用转化，可求模可求角

方法推广：已知模与夹角的数量积混合运算：先拆项（自乘项化平方、互乘项化余弦）再代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2015-广东卷文-09 单-向量数量积
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算
• 2013-广东卷文-10 单-向量分解真假命题