2013-新课标II卷文-12 单-存在性问题

本题导读

本题考查指数函数的性质，以及存在性问题与参数取值范围。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 若存在正数 $x$ 使 $2^x(x-a)<1$ 成立，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,+\infty )$　　　　B. $(-2,+\infty )$　　　　C. $(0,+\infty )$　　　　D. $(-1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 由 $2^x>0$ 两边同除得 $x-a<\frac{1}{2^x}$，即 $a>x-\frac{1}{2^x}$。
2. 记 $g(x)=x-\frac{1}{2^x}$（$x>0$），$g^{\prime }(x)=1+\frac{\ln 2}{2^x}>0$。
3. 只需 $a>\underset{x>0}{\inf }g(x)$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2^x>0$，原不等式 $2^x(x-a)<1$ 可化为 $x-a<\frac{1}{2^x},$ 即 $a>x-\frac{1}{2^x}.$ 记 $g(x)=x-\frac{1}{2^x}$（$x>0$），则 $g^{\prime }(x)=1+\frac{\ln 2}{2^x}>0,$ 故 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，从而 $\underset{x>0}{\inf }g(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x-\frac{1}{2^x}\right)=0-1=-1.$ “存在正数 $x$ 使 $a>g(x)$ 成立”等价于 $a$ 大于 $g(x)$ 的下确界，即 $a>-1,$ 所以 $a$ 的取值范围是 $(-1,+\infty )$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：存在性问题的参数范围

核心方法：分离参数：由 $2^x(x-a)<1$ 得 $a>x-\frac{1}{2^x}$，转化为求该函数的下确界

避坑指南：“存在正数 $x$ 使…成立”对应取下确界（$a>$ 下确界），而非取最大值；别与”对任意 $x$ 成立”的恒成立问题混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参数的存在性问题（全国卷常考）。

结论推广：“存在 $x\in D$ 使 $a>g(x)$”$⟺a>\underset{x\in D}{\inf }g(x)$；“对任意 $x\in D$ 有 $a>g(x)$”$⟺a>\underset{x\in D}{\sup }g(x)$。

方法推广：存在性（恒成立）问题两步：分离参数 → 求对应函数的最值（存在取与 $a$ 同侧的界，任意取与 $a$ 反侧的界）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质
• 2013年新课标Ⅱ理-12